Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng

Với dạng toán viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng thì đường thẳng của chúng ta có thể cho trước, cũng có thể chúng ta cần phải đi tìm phương trình đường thẳng này. Với dạng toán này thông thường chúng ta phải đưa phương trình đường thẳng về dạng tham số và tọa độ hóa tâm của mặt cầu theo đường thẳng tham số đó. Dựa vào một vài điều kiện bài toán cho thêm, chúng ta sẽ tìm được tọa độ tâm, bán kính và phương trình của mặt cầu.

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng

Bài tập 1: Trong không gian với với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; -2), B(0; 3; 4) và đường thẳng d:\left\{\begin{array}{ll}x=1+2t\\y=2-3t\\z=3-t\end{array}\right.. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và mặt cầu đi qua 2 điểm A, B.

Phân tích:

  • Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng => tọa độ hóa tâm I theo t
  • Mặt cầu đi qua A và B => IA=IB => giá trị của t => phương trình mặt cầu.

Cụ thể:

Gọi I là tâm mặt cầu cần tìm.

I\in d nên ta có tọa độ tâm I là: I(1+2t;2-3t;3-t)

Vì mặt cầu đi qua hai điểm A(1; 2; -2), B(0; 3; 4) nên ta có:

IA=IB

\Leftrightarrow \sqrt{(2t)^2+(3t)^2+(t-5)^2}=\sqrt{(1+2t)^2+(1+3t)^2+(1+t)^2}

\Leftrightarrow 22t=22

\Leftrightarrow t=1

Với t=1 ta có tọa độ tâm I là: I(3;-1;2) và bán kính của mặt cầu là: R=IA=IB=\sqrt{29}

Vậy phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua hai điểm A, B là:

(x-3)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=29

Tham khảo bài giảng:

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-1;4;6) và điểm B(-2;3;6). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Ox và đi qua điểm A và điểm B. Tìm tọa độ các giao điểm của (S) với trục Oz.

Phân tích:

  • Bài toán này cho tâm mặt cầu thuộc trục Ox => cần biết được phương trình trục Ox.
  • Để tìm giao của mặt cầu với trục Oz các bạn cũng cần biết được phương trình trục Oz.

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình \dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{2} và hai mặt phẳng (P): x+2y+2z+3=0(Q): x-2y-2z+7=0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d đồng thời (S) tiếp xúc với (P), (Q).

Phân tích:

  • Tâm mặt cầu thuộc đường thẳng d => tọa độ hóa tâm mặt cầu theo d.
  • Mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P); (Q) => Điều kiện tiếp xúc.

Cụ thể:

Phương trình tham số của đường thẳng d là: \left\{\begin{array}{ll}x=-2+t\\y=1-t\\z=2+2t\end{array}\right.

Gọi tâm mặt cầu là I. Vì điểm I thuộc đường thẳng d nên tọa độ của I là: I(-2+t;1-t;2+2t)

Khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng (P) là:

d_1=\dfrac{|-2+t+2(1-t)+2(2+2t)+3|}{3}=\dfrac{|3t+7|}{3}.

Khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng (Q) là:

d_2=\dfrac{|-2+t-2(1-t)-2(2+2t)+7|}{3}=\dfrac{|-t-1|}{3}.

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P)(Q) nên ta có:

d_1=d_2

\Leftrightarrow |3t+7|=|-t-1|

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}t=-2\\t=-3\end{array}\right.

  • Với t=-2 ta có tọa độ tâm I(-4;3;-2) và bán kính của mặt cầu là R=d_1=1. Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x+4)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=1
  • Với t=-3 ta có tọa độ tâm I(-5;4;-4) và bán kính của mặt cầu là R=d_1=2. Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x+5)^2+(y-4)^2+(z+4)^2=4

Bài tập 4:  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x - y + z - 1 = 0 và điểm A(1; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d, đi qua A và tiếp xúc với (P).

Phân tích:

  • Với bài toán này trước tiên các bạn cần lập phương trình đường thẳng d. Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên sẽ tìm được vectơ pháp tuyến + đi qua điểm A => phương trình đường thẳng d.
  • Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tham số để biểu diễn tọa độ tâm mặt cầu. Dựa vào điều kiện mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với (P) sẽ có được phương trình mặt cầu.

Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) và mặt phẳng (P): 3x-y-z+1=0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc AB, bán kính bằng 2\sqrt{11} và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Đáp án: Có 2 phương trình mặt cầu (S):

(x-\dfrac{21}{2})^2+y^2+(z-\dfrac{21}{2})^2=22

(x+\dfrac{23}{2})^2+y^2+(z+\dfrac{23}{2})^2=22

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho (P): 2x-y-2z-2=0 và đường thẳng d: \dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.

Hướng dẫn:

  • Đưa đường thẳng d về dạng tham số, biểu diễn tọa độ tâm I theo d.
  • Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu tới đường thẳng d => tìm đc tọa độ tâm I.
  • Dựa vào mặt cầu cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 => bán kính mặt cầu.

Lời kết

Như vậy với dạng toán lập phương trình mặt cầu biết tâm thuộc đường thẳng thì chúng ta cần chú ý tới việc biến đổi phương trình đường thẳng từ dạng chính tắc hay tổng quát sang dạng tham số. Cần nắm thêm các công thức khoảng cách, một số tính chất của đường tròn, mặt phẳng tiếp diện, điều kiện tiếp xúc...thì các bạn sẽ đơn giản hóa được mọi bài toán. Hãy để lại cảm nhận của bạn về bài giảng và nhớ subscriber để nhận bài giảng mới nhất.

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

11 Thảo luận

  1. QMaZic says:

    Thầy ơi cho em hỏi ở bài tập 1 công thức nào để tínhIA=IB
    IA=IB
    ⇔(2t)2+(3t)2+(t−5)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(1+2t)2+(1+3t)2+(1+t)2−−−−−−−−−−−−−−−−√

  2. Gia Ân says:

    Thay ơi

    Thay trinh bày dạng toán la tim pt mat cau có tâm thuoc d1,tiep xuc d2 va (P) duoc k ạ

    • Khi nào có thời gian thầy mới viết bài được em nhé. Em có thể tham khảo dạng này trên google xem có trang nào viết thì tham khảo trước vậy. Chúc em học tập tốt.

    • Em có thể làm theo hướng này:
      Tọa độ hóa tâm mặt cầu theo d1, giả sử I(t;t+1;t+2)
      Lấy A bất kì thuộc d2, giả sử A(a;a-1;a-2). Tính \vec{IA}
      Tìm vtcp của d2 là \vec{u}
      Ta có: \vec{IA}.\vec{u}=0 (1)
      Tính khoảng cách từ I tới mặt phẳng (P) => IA=d_{I,(P)} (2)
      Giải hệ (1) (2) =>t và a

  3. Hằng says:

    thầy ơi, nếu I thuộc đt d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng song song thì sao thầy

  4. Hoa says:

    I(2;3;-1) cắt (d):x=-9+2t y=-10+t z=-5-2t tại 2 điểm A B sao cho AB=16 có bán kính bao nhiêu?
    Thầy giải giúp e với ạ

    • Có phải ý em muốn hỏi đường tròn tâm I có bán kính bao nhiêu?
      - Em gọi H là trung điểm của AB => IH vuông góc với AB và HA=HB=8cm
      - Tính khoảng cách IH
      - Xét tam giác vuông AIH => R=AI=...(áp dụng Pitago)

  5. Thương says:

    Thầy cho em hỏi bài này nha:
    viết phương trình mặt phẳng qua A va tiếp xúc với mặt cầu S sao cho khoảng cách từ B đến mặt này lớn nhất

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *