Tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến là một phép biến hình được ứng dụng rất nhiều trong toán học và trong các ngành khoa học khác. Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm dạng toán tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến. Trước khi vào bài tập dạng này chúng ta cùng xem lại lý thuyết và một số tính chất của phép tịnh tiến để áp dụng.

Tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến

Tham khảo bài giảng:

1. Định nghĩa phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng cho vectơ \vec{v}. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho \vec{MM'}=\vec{v} được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}

Phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v} được kí hiệu là: T_{\vec{v}}, \vec{v} được gọi là vectơ tịnh tiến.

Như vậy: T_{\vec{v}}(M) = M' \Leftrightarrow \vec{MM'} =\vec{v}

Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất.

2. Tính chất của phép tịnh tiến

a. Tính chất 1: Nếu T_{\vec{v}}(M) = M'T_{\vec{v}}(N) = N' thì \vec{M'N'}=\vec{MN} và từ đó suy ra M'N'=MN.

b. Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \vec{v}=(a;b). Với mỗi điểm M(x;y) ta có M'(x';y') là ảnh của M' qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}.

Khi đó \vec{MM'} = \vec{v} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'-x=a\\y'-y=b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=x+a\\y'=y+b\end{array}\right.

Đó là một số khái niệm và tính chất của phép tịnh tiến chúng ta cần nắm được để có thể giải được bài tập. Ngay sau đây thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm một số bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến và tìm phương trình đường thẳng cũng bằng phép tịnh tiến.

4. Bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến

Bài 1: trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \vec{v}=(-1;2), hai điểm A(3;5) và B(-1;1) và đường thẳng d có phương trình: x-2y+3=0.

a. Tìm tọa độ của các điểm A'; B' theo thứ tự là ảnh của A; B qua phép tịnh tiến theo \vec{v}

b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \vec{v}

c. Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \vec{v}

Hướng dẫn giải:

Trong bài tập này vectơ tịnh tiến chính là vectơ \vec{v}=(-1;2). Do đó ta chỉ cần sử dụng tới biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là giải ngon lành rồi.

a. Gọi tọa độ của điểm A'(x';y'), ta có:

T_{\vec{v}}(A) =A'\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=x+a\\y'=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=3-1\\y'=5+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=2\\y'=7\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm A' là A'(2;7)

Gọi tọa độ của điểm B'(x';y'), ta có:

T_{\vec{v}}(B) =B'\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=x+a\\y'=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=-1-1\\y'=1+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=-2\\y'=3\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm B' là B'(-2;3)

b. Tìm tọa độ của điểm C

Điểm C ở đây chính là điểm vật, tọa độ của A(3;5) là tọa độ của điểm ảnh hay A(3;5)=A(x';y').

Gọi tọa độ của điểm C(x;y), áp dụng biểu thức tọa độ ta có:

T_{\vec{v}}(C) =A\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=x+a\\y'=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}3=x-1\\5=y+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=4\\y=3\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm C là C(4;3)

c. Việc tìm phương trình của đường thẳng d thầy sẽ hướng dẫn chúng ta giải theo 3 cách

Cách 1: Tìm phương trình của đường thẳng d theo biểu thức tọa độ

Gọi M(x;y) là điểm thuộc đường thẳng d và M'(x';y') là điểm thuộc đường thẳng d'. Ta có:

T_{\vec{v}}(M) =M'\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=x+a\\y'=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=x-1\\y'=y+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=x'+1\\y=y'-2\end{array}\right.

Vì điểm M\in d nên ta có tọa độ của M thỏa mãn phương trình đường thẳng d:

Ta có: (x'+1)-2(y'-2)+3=0 \Leftrightarrow x'-2y'+8=0

Như vậy điểm M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là: x-2y+8=0

Cách 2: Tìm phương trình của đường thẳng d theo tính chất 2

Vì đường thẳng d' cần tìm là ảnh của đường thẳng d nên đường thẳng d' sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d' sẽ có phương trình là: x-3y+c=0

Lấy 1 điểm D(-3;0)\in d. Gọi D'(x';y')\in d' là ảnh của điểm D qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}. Ta có: T_{\vec{v}}(D) =D'\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=x+a\\y'=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=-3-1\\y'=0+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=-4\\y'=2\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm D' là: D'(-4;2)

Vì điểm D' thuộc đường thẳng d' nên tọa độ của D' thỏa mãn phương trình d', tức là: -4-2.2+c=0 \Leftrightarrow c=8. Từ đó ta có phương trình đường thẳng d' là: x-2y+8=0

Cách 3: 

  • Lấy 2 điểm M; N thuộc đường thẳng d
  • Tìm ảnh của 2 điểm M; N qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}
  • Đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d sẽ đi qua M'; N'
  • Viết phương trình đường thẳng M'N'

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x-3y+3=0, đường thẳng d_1 có phương trình: 2x-3y-5=0. Tìm tọa độ của vectơ \vec{v} có giá vuông góc với đường thẳng d để d_1 là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}.

Hướng dẫn giải:

*. Phân tích bài toán:

  • Đường thẳng d_1 là ảnh của d qua T_{\vec{v}} nên d//d_1
  • Vectơ \vec{v} có giá vuông góc với đường thẳng d nên \vec{v} chính là 1 vectơ pháp tuyến của d. Hay \vec{v} là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d_2 vuông góc với đường thẳng d.
  • Viết phương trình đường thẳng d_2 bằng cách: đi qua 1 điểm M thuộc d và nhận VTPT của d làm VTCP
  • Tìm giao của d_2 với d_1 tại điểm N. Khi đó \vec{v} = \vec{MN}

*. Lời giải:

Vì đường thẳng d_1 là ảnh của d qua T_{\vec{v}} nên d//d_1. Mặt khác vectơ \vec{v} có giá vuông góc với đường thẳng d nên \vec{v} chính là 1 vectơ pháp tuyến của d. Hay \vec{v} là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d_2 vuông góc với đường thẳng d.

Viết phương trình đường thẳng d_2:

  • Vectơ pháp tuyến của dường thẳng d: \vec{n_d}=(2;-3) \Rightarrow \vec{n_d} là vectơ chỉ phương của đường thẳng d_2.
  • Lấy điểm M(3;3) thuộc d.

Phương trình đường thẳng d_2 đi qua M nhận \vec{n_d} làm VTCP: \left\{\begin{array}{ll}x=3+2t\\y=3-3t\end{array}\right. t\in R

Giao điểm của d_2 với d_1 là điểm N:

Thỏa mãn hệ phương trình:  \left\{\begin{array}{ll}x=3+2t\\y=3-3t\\2x-3y-5=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}t=\dfrac{8}{13}\\x=\dfrac{55}{13}\\y=\dfrac{15}{13}\end{array}\right.

Ta có tọa độ của N là: N(\dfrac{55}{13};\dfrac{15}{13})

Tọa độ của vectơ MN là: \vec{MN}=(\dfrac{16}{13};\dfrac{-24}{13})

Vậy vectơ tịnh tiến \vec{v} cần tìm là:\vec{MN}=(\dfrac{16}{13};\dfrac{-24}{13})

Qua bài giảng trên đã giúp chúng ta hiểu thêm về việc tìm tọa độ điểm bằng phép tính tiến. Chúng ta cần phải nắm được biểu thức tọa độ và tính chất của phép tịnh tiến để làm toán. Qua hai bài tập trên hy vọng phần nào giúp các bạn giải bài tập trong dạng này. Trong bài giảng sau thầy tiếp tục trình bày về phép tịnh tiến thông qua dạng bài tập tìm phương trình đường tròn và đường thẳng.

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

50 Thảo luận

  1. Kim phượng says:

    Cám ơn thầy ạ . Nhơf thầy có mấy bài e k hiêu giờ bt nhiều r ạ

  2. Danh says:

    Thầy ơi! hình như bài 2 bị lỗi rồi

    nếu thế x=3+2t và y=3-3t vào 2x-3y-5=0 thì ta được

    2*(3+2t)-3(3-3t)-5=0

    <=>6+4t-9+9t-5=0

    <=>13t-8t=0

    <=>t=8/13 còn  của thầy ra t= 10/13 em vần không hiểu chỗ đó xin thây giải lại chậm hơn để em dễ nắm bắt

  3. Danh says:

    Thầy ơi! hình như bài 2 bị lỗi rồi

    nếu thế x=3+2t và y=3-3t vào 2x-3y-5=0 thì ta được

    2*(3+2t)-3*(3-3t)-5=0

    <=>6+4t-9+9t-5=0

    <=>13t-8t=0

    <=>t=8/13 còn  của thầy ra t= 10/13 em vần không hiểu chỗ đó xin thây giải lại chậm hơn để em dễ nắm bắt

  4. thanh thúy says:

    thầy ơi sao bài 2 lại phải thêm d2 ạ

    • vì chúng ta đang cần tìm vectơ tịnh tiến \vec{v}, mà vecto tịnh tiến này lại có giá vuông góc với d và d1. Do đó \vec{v} chính là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với d và d1=> là d2. Em xem kĩ phần phân tích bài toán nhé.

  5. Trúc Quyên says:

    Thầy ơi, cho em hỏi thêm là nếu đề hỏi là Tìm M" ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ v rồi đối xứng qua Oy thì mình làm sao ạ? Thầy trả lời giúp em với. Em cảm ơn ạ!!!

  6. Minh Huyên says:

    Thầy ơi bài hai làm sao mình tìm được điểm M thuộc d ?

  7. Minh Huyên says:

    Thầy ơi, nếu đề bài cho hai pt đường thẳng, tìm tọa độ vecto cùng phương với trục Ox sao cho phép tịnh tiến vecto v biến d thành d' thì mình làm sao ạ?

    • giả sử cho 2 đường thẳng d1, d2. trong đó d1 là ảnh của d2
      Em lấy 1 điểm M thuộc d1, viết phương trình đường thẳng d qua M song song với Ox
      tìm giao của đường thẳng d với d2 tại N
      vecto MN là vecto tịnh tiến cần tìm.

  8. Quỳnh như says:

    Giải giúp e tìm ngược lại đi

  9. Hàn Hy says:

    em cám ơn thầy nhiều giờ em có thể giải được bài tập cô giao rồi ạ!

  10. Lài says:

    Cho d: 3x-y-9=0. Tìm vectơ a có giá song song trục ox sao cho d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ a biết d' đi qua góc tọa độ 0. Thầy giúp e

    • đường thẳng d' là ảnh của d => d' song song với d => d': 3x-y+c=0.
      d' đi qua O(0;0) => d': 3x-y=0.
      tìm giao của d với Ox là A(3;0)
      vì vectơ tịnh tiến có giá song song với Ox => \vec{v}=\vec{OA}

  11. Tân says:

    Bài giảng của thầy rất hay ạ,nhờ bài giảng của thầy e đã biết làm hơn về phép tịnh tiến rồi ạ,e cảm ơn thầy nhiều

  12. Huệ says:

    Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, thầy cho e hỏi khi nào thì biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó, khi nào thì biến thành đường thẳng trùng với nó

    • Nếu vectơ tịnh tiến có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì ảnh của d là đường thẳng d.
      Nếu vectơ tịnh tiến có giá không song song hoặc trùng với d thì ảnh của d sẽ song song với d

  13. nhỏ says:

    Thầy ơi... bài thầy cho rất hay... nhưng mà chỉ có 2 trang thôi hà thầy.... hay thầy chuyển qua trang khác rồi... làm sao e có thể xem bài của thầy được ạ

  14. Thảo says:

    Thầy có thể gợi ý giúp em bài này được k ạ: cho đương tròn (C) có tâm I thuộc đt x+y-2=0 và tiếp xúc với 2 trục tọa độ. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vecto u biết u=(-1;2)

  15. Hạnh says:

    Thầy ơi cho em hỏi khi nào thì phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng trùng với nó ạ

  16. KhAng says:

    Trong mp Oxy, cho hai đường tròn (C): x^2 y^2-10x+4y+25=0, (C'): (x-1)^2+(y+3)^2+(y+3)^2=2. Có hay không phép tịnh tiến theo vectơ v biến (C) thành (C')

    • KhAng says:

      Thầy ơi thầy chỉ e làm bài này với
      Trong mp Oxy, cho hai đường tròn (C): x^2 y^2-10x+4y+25=0, (C'): (x-1)^2+(y+3)^2+(y+3)^2=2. Có hay không phép tịnh tiến theo vectơ v biến (C) thành (C')

      • Em tìm tâm và bán kính của 2 đường tròn ra thì sẽ thấy 2 đường tròn này có cùng bán kính R. Do đó tồn tại 1 phép tịnh tiến theo vectơ II' biến đường tròn nọ thành đường tròn kia. II' là tâm của 2 đường tròn.

  17. Lực says:

    Thầy ơi cho em hỏi em lấy điểm M(0;1) rồi em tìm Đường thẳng d2 đi qua M và nhận VTCP của d làm VTPT thì => d2: 3x+2y=2. Sau đó em tìm giao điểm của d2 với d1 thì ra được N(16/13;-11/13) khác kết quả của thầy là sao ạ?? Chỉ dùm em với

  18. Lực says:

    Cho d1:2x-3y+6=0
    d2:2x-3y+12=0
    Tìm một phép tịng tiến sao cho
    a) d2 là ảnh của d1 và trục Ox biến thành chính nó
    b) d1 là ảnh của d2 và đường thẳng d3 biến thành chính nó

  19. Mai Anh says:

    thầy ơi thầy cho em hỏi nếu đề bài là : trong mp 0xy cho ( E) ,tìm phương trình của ( E') là ảnh của (E) qua vecto v thì lm thê nào ạ

  20. hangan says:

    thầy ơi, thầy trình bày mẫu về 1 bài tìm ảnh của pt đtron đi ạ

  21. bao says:

    Thấy ơi giúp em với: cho đường thẳng d 5 x + y - 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng d' phải là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k=-2 và phép tịnh tiến theo vectơ v(1;-3)

  22. duy says:

    thầy ơi vì sao ở câu 1 lấy tọa độ điểm D(-3;0) ạ

  23. Ly says:

    Cho em hỏi
    Tìm tọa độ điểm D thuộc trục hoành sao cho diện tích tam giác ABD bằng 25 biết A(1;2) B(-3;4)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *