Tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng tâm

Tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng tâm là một dạng bài tập cơ bản nhất trong phép đối xứng. Là cơ sở giúp chúng ta giải các bài toán về tìm phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn thông qua phép đối xứng. Trước tiên chúng ta cần điểm qua một số khái niệm và tính chất cơ bản của phép đối xứng tâm.

Tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa phép đối xứng tâm

Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I

Từ định nghĩa ta suy ra:

  1. M'=Đ_I(M) \Leftrightarrow \vec{IM'} =-\vec{IM} hay \vec{IM} + \vec{IM'} = \vec{0}

Từ đó ta có:

  • Nếu M \equiv I thì M' \equiv I
  • Nếu M \not\equiv I thì M'=Đ_I(M) \Leftrightarrow I là trung điểm của MM'

2. Tính chất của phép đối xứng tâm

Tính chất 1: Nếu Đ_I(M)=M' và  Đ_I(N)=N' thì \vec{M'N'} =-\vec{MN}, từ đó suy ra M'N'=MN

Tính chất 2: Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

a. Trường hợp tổng quát:

Tâm đối xứng là điểm I(x_0;y_0). Gọi M(x;y) và M'(x';y') là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có: \left\{\begin{array}{ll}x'=2x_0-x\\y'=2y_0-y\end{array}\right.

b. Trường hợp đặc biệt

Tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0;0). Gọi M(x;y) và M'(x';y') là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O. Khi đó ta có: \left\{\begin{array}{ll}x'=-x\\y'=-y\end{array}\right.

4. Bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng tâm

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1;-2). Tìm tọa độ của điểm I' là ảnh của điểm I qua phép đối xứng tâm O.

Hướng dẫn giải:

Bài tập trên các bạn thấy khá là dễ dàng bởi tâm đối xứng của chúng ta chính là gốc tọa độ. Do đó ta gọi tọa độ của điểm I' là I'(x';y') thì \left\{\begin{array}{ll}x'=-x\\y'=-y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=-1\\y'=2\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm I' là: I'(-1;2)

Xem thêm bài giảng: Tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;3). Tìm tọa độ của điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm I(2;4).

Hướng dẫn giải:

Với bài toán số 2 này các bạn thấy tâm đối xứng của chúng ta không phải là điểm đặc biệt như trong bài toán 1. Do vậy các bạn sẽ áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm trong trường hợp tổng quát.

Gọi tọa độ của điểm A' là: A'(x';y')

Theo biểu thức tọa độ ta có:  \left\{\begin{array}{ll}x'=2x_0-x\\y'=2y_0-y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=2.2-2\\y'=2.4-3\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=2\\y'=5\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm A' là: A'(2;5)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A'(2;3). Tìm tọa độ của điểm A biết A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm I(2;4).

Hướng dẫn giải:

Với bài toán này các bạn đọc qua sẽ thấy giống với bài toán 2 ở trên, nhưng nếu đọc kỹ sẽ thấy nó hoàn toàn khác nhau. Bài toán 2 yêu cầu tìm tọa độ của điểm ảnh, còn bài toán này yêu cầu tìm tọa độ của điểm vật. Tuy nhiên cách làm của chúng ta thì vẫn sử dụng biểu thức tọa độ để giải. Các bạn cần chú ý giữa x và x'; y và y' nhé.

Gọi tọa độ của điểm A là: A(x;y)

Áp dụng biểu thức tọa độ ta có: \left\{\begin{array}{ll}x'=2x_0-x\\y'=2y_0-y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=2x_0-x'\\y=2y_0-y'\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=2.2-2\\y=2.4-3\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=2\\y=5\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm A là: A(2;5)

Trên đây là toàn bộ lý thuyết của phép đối xứng tâm cùng bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng tâm. Thầy đã tách thành 3 dạng bài tập như trên giúp chúng ta tiếp thu bài thuận lợi hơn. Trong bài giảng tiếp theo thầy sẽ hướng dẫn chúng ta viết phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn qua phép đối xứng tâm. Các bạn hãy đón đọc.

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *