Tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân đường cao của tam giác

Bài tập: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cả 3 góc đều nhọn. Tìm tọa độ 3 đỉnh A, B, C của tam giác biết tọa độ chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C tương ứng là A'(-1;-2), B'(2;2), C'(-1;2)

Phân tích bài toán:

Bài toán trên yêu cầu tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân đường cao của tam giác

1. Để tìm được tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC khi biết tọa độ của 3 chân đường cao trong tam giác chúng ta sẽ phân tích bài toán theo hướng sau:

A là giao điểm của hai đường thẳng AA' và AC

B là giao điểm của hai đường thẳng BB' và BC

C là giao điểm của hai đường thẳng AC và BC

2. Chúng ta cần đi tìm phương trình đường thẳng AA', AC, BB', BC

3. Các bạn cần chứng minh 3 đường cao AA', BB', CC' của tam giác ABC là 3 đường phân giác của tam giác A'B'C'. Sau đó viết phương trình đường phân giác (cái này thì dễ ồi).

Chú ý: Một góc có hai đường phân giác trong và phân giác ngoài. Nếu AA' là phân giác trong của góc \widehat{B'A'C'} thì BC chính là phân giác ngoài của góc \widehat{B'A'C'}. Vì sao lại như vây?

Các bạn chú ý tới tính chất hai đường phân giác của một góc: Đường phân giác ngoài và phân giác trong của một góc thì luôn vuông góc với nhau.(Các bạn rõ lý do rồi chứ). Còn làm thế nào để biết được đâu là phương trình đường phân giác trong, đâu là phương trình đường phân giác ngoài thì các bạn theo dõi trong lời giải bên dưới.

4. Để chứng minh là đường phân giác các bạn đi chứng minh 2 góc bằng nhau, dựa vào tứ giác nội tiếp đường tròn (2 góc cùng nhìn 1 cạnh thì bằng nhau)

Vậy là tới đây các bạn đã rõ hướng làm bài toán này rồi.

toa do 3 dinh tam giac biet toa do chan duong cao

Trình bày lời giải:

1. Chứng minh AA' và BB'  là đường phân giác của \widehat{B'A'C'} và \widehat{A'B'C'}

Tứ giác A'HB'C  nội tiếp (vì 2 góc vuông A' và B' cùng nhìn cạnh HC) => \hat{A'_2}=\hat{C_1} (cùng nhìn cạnh HB')          (1)

Tứ giác A'C'AC nội tiếp (vì 2 góc vuông A' và C' cùng nhìn cạnh AC) => \hat{A'_1}=\hat{C_1} (cùng nhìn cạnh AC')               (2)

Từ (1) và (2) ta có: \hat{A'_1}=\hat{A'_2} => AA' là phân giác của \widehat{B'A'C'}

Vì Tứ giác A'HB'C  nội tiếp  => \hat{B'_2}=\hat{C_2} (cùng nhìn cạnh HA')                 (3)

Tứ giác BC'B'C nội tiếp (vì 2 góc vuông B' và C' cùng nhìn cạnh BC) => \hat{B'_1}=\hat{C_2} (cùng nhìn cạnh BC')               (4)

Từ (3) và (4) ta có: \hat{B'_1}=\hat{B'_2} => BB' là phân giác của \widehat{A'B'C'}

2. Viết phương trình 3 cạnh A'B'; B'C' và A'C'

Ta có: \vec{A'B'}(3;4)\vec{A'C'}(0;4)\vec{B'C'}(-3;0)

Phương trình đường thẳng A'B' là: 4x-3y-2=0

Phương trình đường thẳng A'C' là: x+1=0

Phương trình đường thẳng B'C' là: y-2=0

3. Viết phương trình đường phân giác AA' và BB'

Gọi H(x;y), vì H thuộc đường phân giác của góc\widehat{B'A'C'} nên ta có khoảng cách từ H tới hai cạnh của góc sẽ bằng nhau.

a. Đường phân giác trong AA' và phân giác ngoài BC

Ta có: d_{(H,A'B')} = d_{(H,A'C')}

\Leftrightarrow \dfrac{|4x-3y-2|}{5} = |x+1|\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}4x-3y-2 = 5x+5\\4x-3y+2=-5x-5\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}x+3y+7 =0\\3x-y+1=0\end{array}\right.

Để biết được phương trình đường thẳng nào là phân giác trong và phân giác ngoài các bạn làm như sau:

Thay tọa độ của hai điểm B' và C' vào cùng một phương trình đường thẳng, xét tích của chúng.

Nếu tích âm thì là phân giác trong (2 điểm đó nằm về 2 phía của đường thẳng), nếu tích dương thì là phân giác ngoài (2 điểm đó nằm cùng phía với đường thẳng)

Xét phương trình: 3x-y+1=0 ta có:

[3.2-2+1][3(-1)-2+1] = -20 <0

Vậy đường phân giác trong AA' có phương trình là:3x-y+1=0

Đường phân giác ngoài là BC có phương trình là: x+3y+7=0

Bạn muốn xem: Phương pháp viết phương trình đường phân giác hay dùng

b. Đường phân giác trong BB' và phân giác ngoài AC

Ta có: d_{(H,A'B')} = d_{(H,B'C')}

\Leftrightarrow \dfrac{|4x-3y-2|}{5} = |y-2|\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}4x-3y-2 = 5y-10\\4x-3y+2=-5y+10\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}x-2y+2=0\\2x+y-6=0\end{array}\right.

Vậy đường phân giác trong BB' có phương trình là:x-2y+2=0

Đường phân giác ngoài là AC có phương trình là: 2x+y-6=0

4. Tìm tọa độ 3 đỉnh A, B và C của tam giác ABC

a. Tìm tọa độ đỉnh C

Điểm C là giao điểm của hai đường thẳng AC và BC nên tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{ll}x+3y+7=0\\2x+y-6=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-5\\y=16\end{array}\right..              Vậy C(-5;16)

b. Tìm tọa độ đỉnh B

Đỉnh B  là giao điểm của hai đường thẳng BC và BB' nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{ll}x+3y+7=0\\x-2y+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-4\\y=-1\end{array}\right..               Vậy B(-4;-1)

c. Tìm tọa độ đỉnh A

Đỉnh A là giao điểm của hai đường thẳng AC và AA' nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{ll}3x-y+1=0\\2x+y-6=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=4\end{array}\right..                 Vậy A(1;4)

5. Lời kết

Bài toán trên là một bài toán khó mà hay, nó đòi hỏi nhiều kiến thức và tư duy logic để tìm ra hướng giải. Trong bài toán trên có thể chúng ta sẽ đi tìm phương trình 2 đường phân giác, sau đó tìm ra tọa độ điểm H là giao của hai đường phân giác (nếu không nhớ tính chất của đường phân giác ngoài). Từ đó các bạn cũng sẽ viết được phương trình các cạnh của tam giác và tìm ra tọa độ 3 đỉnh.

Việc tìm tọa độ 3 đỉnh  biết tọa độ chân đường cao của tam giác có thể trở thành bài toán viết phương trình 3 cạnh của tam giác khi biết tọa độ chân các đường cao. Các bạn có thể tham gia thảo luận thêm về bài toán này trong hộp bình luận phía dưới nhé.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

32 Thảo luận

  1. Đuc Tai says:

    H co 2 an so lai viet duoc pt A'H vay?

    • Đường thẳng A'H là đường phân giác. Ở đây thầy tìm ptdt A'H dựa vào A'H (hay A'A) là đương phân giác của góc A'. Cho nên ta không đi tìm cụ thể tọa độ H là bao nhiêu mà tìm pt A'H một cách trực tiếp luôn.
      Em có thể tìm hiểu thêm cách viết pt đường phân giác của một góc là sẽ hiểu.

  2. Đuc Tai says:

    Ai có thể cho em 1 lời giải thích với ạ. Em cảm ơn

  3. Long says:

    Do H thuộc đường phân giác của góc  B'A'C' cho nên H thuộc 1 trong 2 đường thẳng

    A A'(là phân giác trong chủ góc B'A'C') hoặc BC (là phân giác ngoài của góc B'A'C') ,

    mà tọa  độ của H thỏa mãn 1 trong 2 pt  x+3y+7=0 hoặc 3x-y+1=0 (giải ở phần 3a ở trên),  vậy trong 2 pt này có 1 pt của đường

    phân giác trong AA' và 1 pt đường phân giác ngoài BC .Dùng cách thử như ở trên là biết

    pt nào là pt AA'. Ở đây H thuộc phân giác trong hay ngoài không quan trọng,

    quan trọng là tìm được pt A A'. (Và lại chúng ta chỉ giả sử H thuộc đường phân giác của

    góc B'A'C' cho nên chúng ta ko biết nó thuộc đường phân giác trong hay ngoài và điều

    này chúng ta ko cần phải quan tâm làm gì)

    3x−

    • Long says:

      Chưa biết H thuộc đường phân giác nào cho nên việc đi tìm pt A'H là rất khó, thay vì làm điều đó ta đi tìm pt A'A và BC.

  4. Hợp says:

    Giả sử thay toạn dộ chân 1 ddường cao thành chân 1 trung tuyến thì làm như bào aj

  5. trang says:

    cho tam giác ABC đường cao AH có phương trình x-2y+4=0 ; đường trung tuyến CM và đường cao CN lần lượt có phương trình 9x+y+3=0 ; 3x+y-3=0 . tìm phương trình cạnh Ac

     

    • Manh says:

      Bạn tìm tọa độ diểm C là giao của CM và CN.

      Viết phuong trình BC đi qua C nhận AH làm vtpt

      Tìm tọa độ điểm H là giao của BC và AH,

      Gọi BI là đường cao thứ 3 trong tam giác, với I thuộc AC

      Bạn chứng mình NC là đường phân giác của góc HNI. Gọi H' là điểm đối xứng với H qua NC thì H' thuộc NI (tính chất phân giác). Để chứng minh phân giác bạn dựa vào tứ giác nội tiếp, mà trên bài viết này thầy có giảng chỗ này rồi.

      Bạn tìm tọa độ H'. Gọi N(a;3-3a) ta sẽ có NH=NH' từ đây ta có được 1 pt theo ẩn a. Bạn giải pt này se đc a. Và tìm đc N.

      Bạn viết ptdt AB qua N nhận NC làm vtpt.

      Tìm tọa độ A là giao điểm AH và AB => ptđt AC

       

  6. PJ says:

    Giúp em với bài tập này

    Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình : x+3y=0 và x-y+4=0. Đường thẳng BD đi qua M(-1/3; 1). Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật.

    • anh says:

      Bạn xác định tọa độ của điểm A là giao của AD và AC

      Tính góc giữa hai đường thẳng AC và AD => góc DAC => góc ADB= góc DAC

      Gọi phương trình đường thẳng BD là: y=k(x+1/3)+1

      Lập biểu thức tính góc giữa 2 đường thẳng AD và BD biết góc ADB rrồi => k

      Từ đó biết đc phuong trình đường thẳng BD. Tìm đc tọa độ cđiểm D.

      Tìm tọa độ điểm I là giao điemẻ của AC và BD. => Tìm tọa độ B đối xứng với D qua I. Viết ptdt AB đc rồi

  7. minhanh says:

    giúp em bài tập này vói ạ!cho tam giacABC biết đường cao kẻ từ A ,trung tuyến từB và phân giác từ C có phương trình lần lượt là(d1):3x-4y+27=0;(d2):4x+5y-3=0;(d3):x+2y-5=0.tìm tọa độ các đỉnh trong tam giac

    • Tính tọa độ A(a;\dfrac{3a+27}{4});C(5-2c;c)
      Vì M là trung điểm của AC => tọa độ M(\dfrac{a+5-2c}{2};\dfrac{3a+27+4c}{4})
      Vì M thuộc đường thẳng BM => có đc 1 pt. Gọi là (1)

      Gọi A' là điểm đối xứng với A qua phân giác CD. Viết ptđt AA' theo a.
      (Em xem thêm bài này về tính chất đường phân giác: http://thaygiaongheo.net/tinh-chat-cuc-hay-cua-duong-phan-giac-khi-tim-toa-diem/)
      Gọi I là giao của AA' và CD => tọa độ điểm I theo a và c

      Vì I là trung điểm của AA' => tọa độ của A'
      Có: \vec{CA'}\bot \vec{AH} \Leftrightarrow \vec{CA'}.\vec{AH}=0 => được pt thứ 2. (2)
      Từ (1) và (2) ta có hệ theo a và c. Giải đc.

  8. minhanh says:

    thầy ơi giảng cho em bt này với ạ!trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(1;1) nội tiếp đường tròn tâmI(3;2).pt cạnh BC:y=-1.tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

    Em cảm ơn thầy rất nhiều!

    • Gọi k là trung điểm BC => IK là trung trực của BC => viết pt đường trung trực IK => tọa độ K
      Gọi B(b;-1)=> tọa độ C theo B và K
      Dựa vào IB=IC => tọa độ B và C
      Viết phương trình đường cao AH (vuông góc với đt BC), phương trình đường tròn tâm I=> giao của AH và đường tròn là A

  9. phúc says:

    thầy oi em có bài này thầy giải giúp em

    cho tam giác ABC biết đường thẳng AB:x+y-2=0 trung tuyến AM:x-1=0, C(-1,5) viết phương trình các canh còn lại của tam giác ABC...............thầy giải nhanh giùm em nha.em cảm ơn

    • Gọi tọa độ điểm M(1;m). Vì M là trung điểm BC => tọa độ điểm B theo m
      Thay tọa độ của B vào phương trình đường thẳng AB=> tọa độ điểm B => ptđt BC
      Tìm tọa độ điểm A => ptđt AC

  10. Plasical says:

    Thầy cho em hỏi muốn tính AH khi cho tọa độ 3 đỉnh phải làm thế nào

  11. Hiếu says:

    thầy ơi, giả sử góc a tù thì làm thế nào ạ ?

  12. Nam says:

    cho tam giác ABC có A(2,2)B(-1,0)C(-5,3)
    a,lập pt ba cạnh tam giác ABC
    b,Lập pt đg cao AH
    c,tìm tọa độ đg tròn ngoại tiếp tam giác ABC

  13. pt says:

    cho A(5;-3) B(4;1) C(-3;6) . tìm tọa độ F biết F là điểm đối xứng của B qua C

  14. Yến says:

    thưa thầy e k hiểu đoạn A'B'(3,4) mà làm ra được pt dt là 4x-3y-2=0 ạ

  15. Ngọc Bích says:

    Tam giác abc vuông tại a , b và c đối xứng qua O . đường phân giác của góc B có phương trình : x+2y-5+0. Tìm tọa độ A . B .C biết K ( 6;2) thuộc đường thằng AC.( giúp em với ạ)

    • Gọi M là điểm đối xứng với O qua phân giác góc B, khi đó M thuộc AB. ta sẽ tìm đc tọa độ M
      Tọa độ hóa điểm B theo phân giác góc B.
      Tính vectơ BO
      Tìm tọa độ của C qua điểm O và B. Xác định vectơ CK
      Lập biểu thức \vec{BO'}\vec{CK}=0

  16. Ngọc Bích says:

    tam giác abc vuông tại a , b và c đối xứng qua O . đường phân giác của góc B có phương trình : x+2y-5=0. Tìm tọa độ A . B .c biết K ( 6;2) thuộc đường thằng AC

  17. huyenexo nguyen says:

    viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.biết B(2;-1),đường cao và đường phân giác trong đi qua 2 đỉnh A và C lần lượt là:d1:3x-4y+27=0 và d2:x+2y-5=0

  18. huyen nguyen says:

    viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.biết B(2;-1),đường cao và đường phân giác trong đi qua 2 đỉnh A và C lần lượt là:d1:3x-4y+27=0 và d2:x+2y-5=0................mong thầy giải nhanh giúp em cái

    • Em viết ptđt BC đi qua B và vuông góc với d1
      Tìm tọa độ của C là giao của Bc và d1
      Gọi B' là ảnh của B qua d2 => B' thuộc AC => tìm đc tọa độ của B'
      Viết ptđt AC đi qua C và B'
      Tìm tọa độ của A là giao của AC và d1
      Viết ptđt AB

  19. Phan Duy says:

    Cho tam giác ABC có trọng tâm G(3; 1); M(3; 0) là trung điểm của BC và H(11/5; 3/5) là chân đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định tọa độ 3 đỉnh A, B, C. Mong thầy giải giúp em !

    • Vì G là trọng tâm, M là trung điểm BC => tọa độ của điểm A (theo t/c trọng tâm)
      Viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và H, viết phương trình đường thẳng CH đi qua H và vuông góc với AH
      Tọa độ hóa điểm B theo phương trình đường thẳng AB,
      tính tọa độ của điểm C theo B và M
      thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng CH => tọa độ C => tọa độ của B

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.