Tìm phương trình đường tròn bằng phép tịnh tiến

Trong bài giảng trước thầy đã hướng dẫn chúng ta dạng toán tìm tọa độ của điểm và viết phương trình đường thẳng bằng phép tịnh tiến. Tiếp theo chuyên đề này bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chúng ta tìm phương trình đường tròn bằng phép tịnh tiến.

Với 3 bài tập trong bài giảng này thầy sẽ giúp chúng ta giải quyết được 3 dạng toán liên quan tới đường tròn và phép tịnh tiến, đó là:

  • Tìm phương trình đường tròn ảnh
  • Tìm vectơ tịnh tiến
  • Tìm phương trình đường tròn vật

Tìm phương trình đường tròn bằng phép tịnh tiến

1. Tìm phương trình đường tròn bằng phép tịnh tiến

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x^2+y^2-2x+4y-4=0. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}=(-2;3)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ tìm phương trình đường tròn

Giả sử M(x;y) là điểm bất kì thuộc đường tròn (C) và M'(x';y') thuộc đường tròn (C') là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}=(-2;3). Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có:

\left\{\begin{array}{ll}x'-x=a\\y'-y=b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=x'-a\\y=y'-b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=x'+2\\y=y'-3\end{array}\right.

Thay x; y ở trên vào phương trình của đường tròn (C) ta được:

(x'+2)^2+(y'-3)^2-2(x'+2)+4(y'-3)-4=0

\Leftrightarrow x'^2+y'^2+2x'-2y'-7=0

\Leftrightarrow (x'+1)^2+(y'-1)^2=9

Vậy đường tròn (C') có phương trình là: (x'+1)^2+(y'-1)^2=9

Cách 2: Sử dụng tính chất để tìm phương trình đường tròn

Chúng ta đã biết tính chất: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Do đó ảnh của đường tròn (C) sẽ là đường tròn (C') có cùng bán kính với đường tròn (C). Việc chúng ta cần tiến hành tiếp theo là tìm tâm của đường tròn (C'). Tâm của (C') lại là ảnh của tâm đường tròn (C) qua T_{\vec{v}}.

Đường tròn (C) có tâm là I(1;-2) và bán kính r=3.

Gọi (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v} và I'(x';y') là ảnh của tâm I qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}. Ta có r'=r=3

Tọa độ của điểm I' là:

\left\{\begin{array}{ll}x'-x=a\\y'-y=b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=x+a\\y'=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=1-2\\y=-2+3\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=-1\\y=1\end{array}\right.

Vậy tọa độ của I' là: I'(-1;1)

Đường tròn (C') có tâm là I'(-1;1) và bán kính r=3 có phương trình là:

(x+1)^2+(y-1)^2=9

 

2. Tìm vectơ tịnh tiến khi biết phương trình đường tròn vật và ảnh

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: (x-2)^2+(y+1)^2=16 và đường tròn (C') có phương trình (x-5)^2+(y+5)^2=16. Biết đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}. Tìm tọa độ của vectơ \vec{v}.

Hướng dẫn giải

Tâm đường tròn (C) là điểm I(2;-1), tâm của đường tròn (C') là điểm I'(5;-5).

Do đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ \vec{v} nên I' cũng là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vec tơ \vec{v}.

Gọi tọa độ của vectơ \vec{v} là: \vec{v}=(a;b)

Ta có: \left\{\begin{array}{ll}x'-x=a\\y'-y=b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}5-2=a\\-5+1=b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}a=3\\b=-4\end{array}\right.

Vậy tọa độ của vectơ \vec{v} là: \vec{v}=(3;-4)

Qua hai bài toán trên thầy đã hướng dẫn chúng ta tìm phương trình đường tròn ảnh bằng phép tịnh tiến và tìm vectơ tịnh tiến khi biết đường tròn vật và đường tròn ảnh. Trong bài toán tiếp theo ngay sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn dạng toán tìm đường tròn vật.

3. Tìm phương trình đường tròn vật qua phép tịnh tiến

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C') có phương trình: (x-1)^2+(y+2)^2=1 và vectơ \vec{v}=(2;1) . Viết phương trình của đường tròn (C) biết đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v}

Hướng dẫn giải

Với bài toán này chúng ta cần tìm phương trình đường tròn vật khi đã biết phương trình đường tròn ảnh và tọa độ của vectơ tịnh tiến.

Đường tròn (C') có bán kính là: r'=1 và tâm I'(1;-2)

Do (C')  là đường tròn ảnh của đường tròn (C) nên ta có: r = r' =1

Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn (C), ta có:

\left\{\begin{array}{ll}x'-x=a\\y'-y=b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=x'-a\\y=y'-b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=1-2\\y=-2-1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-1\\y=-3\end{array}\right.

Vậy tâm I của đường tròn (C) là: I(-1;-3)

Đường tròn (C) cần tìm là: (x+1)^2+(y+3)^2=1

Trên đây là toàn bộ nội dung cho bài giảng tìm phương trình đường tròn bằng phép tịnh tiến. Thầy đã cố gắng chia thành 3 dạng bài tập như trên để giúp chúng ta dễ theo dõi cũng như hiểu rõ các dạng toán trong phần này. Hy vọng với hướng dẫn và lời giải chi tiết của 3 bài toán trên các bạn sẽ hoàn toàn làm chủ được dạng toán viết phương trình đường tròn thông qua phép tịnh tiến.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

29 Thảo luận

  1. ngô thành đạt says:

    thầy ơi thầy có thể giúp giùm em bài này đc ko em cảm ơn thầy nhìu
    trong mặt phẳng oxy biết đường thẳng d cắt trục hoành tại A (-4;0) và cắt trục tung tại B (0;5). hãy viết phương trình tham số của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (5;1)

  2. hien nguyen says:

    Thầy ơi thầy vó thể giúp e bài này với không ạ
    Trong mặt phẳng Oxy chi đường tròn (C). (x-2)²+(y+1)² =10
    a) gọi A,B là giao điểm của (C) với trục hoành, tìm ảnh của A,B qua phép tịnh tiến vecto OI với I là tâm đường tròn
    B) tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vector u=(3;-1)

  3. hien nguyen says:

    Thầy ơi thầy vó thể giúp e bài này với không ạ
    Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C). (x-2)²+(y+1)² =10
    a) gọi A,B là giao điểm của (C) với trục hoành, tìm ảnh của A,B qua phép tịnh tiến vecto OI với I là tâm đường tròn
    B) tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vector u=(3;-1)

  4. Nguyễn Quốc Đạt says:

    Cảm ơn Thầy rất nhiều, bài giảng của Thầy rất dể hiểu.

  5. hưng says:

    Thầy ơi cho em hỏi thầy có thể giải hộ em bài này đc ko ạ. trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x-3y+1=0 và vec tơ v =(1:2). Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vec tơ v mong thầy giải hộ em em ko hiểu bài này ạ em cảm ơn thầy

  6. Thu Thảo says:

    thầy ơi giải giúp em bài này với : viết phương trình ảnh của đường tròn ( I , 3 ) qua phép tịnh tiến theo vecto v(-2,1) ?

  7. Phạm thu Hương says:

    Thầy ơi giúp e giải bài này với: cho đường thẳng d: 2x+3y-4=0, đường tròn C: x2+y2+2x-4y-9=0. Tìm ảnh của đường thẳg d, đường tròn C qua phép tịnh tiến vecto v(-2;1)

  8. Ngọc says:

    Thầy ơi giúp em với
    Cho A ( 1;2 ) B ( 5;-3 ) C ( -3;1 ) và v= ( -2;4 ). Tìm anh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véctơ v

  9. trúc linh says:

    thầy ơi cho em hỏi ....tìm 1 vectơ tịnh tiến có phương song song với ox thì veto có dạng (x,o) hay là (o,y)...

  10. trúc linh says:

    em cảm ơn thầy trước ak

  11. phuong song song với ox thì vecto đó có dạng u(a;0). Thầy có chút nhầm lẫn.
    Em có thể xem thêm hình minh họa
    null

    • trúc linh says:

      thế mà em thấy sách toàn cho là (a,0) em tìm hiểu bao nhiêu sách cũng đều ghi vậy ah thầy....cả sách bài tap học trên trường cũng thế....em có suy nghĩ như thầy nhưng sách với 1 số trang mạng e tim hiểu thì cho kết quả khác......

  12. trúc linh says:

    em cảm ơn thầy nhiều ak, thấy nhiệt tình quá....mong thầy có sức khỏe tốt để theo đuổi đam mê của mình ak

  13. truong my tran says:

    thầy ơi! thầy giúp em bài này với: cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R trong đó AD=R. Dựng các hình bình hành DABM,DACN. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM nằm trên 1 đường tròn cố định

    • vÌ 2 TỨ GIÁC DABM,DACN là hình bình hành nên ta có: \vec{AD}=\vec{BM}=\vec{CN}
      Như vậy phép tịnh tiến theo vecto AD biến điểm A thành D, biến B thành M, biến C thành N
      => tam giác ABC biến thành tam giác DMN. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ảnh của O là O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.
      Theo giả thiết AD=R => OO'=R. vậy điểm O' nằm trên đường tròn tâm (O,R) cố định

  14. Thanh Tài says:

    Thầy ơi em không hiểu bài toán này! (d): x^2+y^2+4-5 = 0 vecto v là -3;2
    Thầy giải thích giúp em với!

  15. Quỳnh Lưu says:

    Thầy ơi cho e hỏi với

    • Quỳnh Lưu says:

      trong mp tọa độ Oxy cho vecto v=3,4
      a, viết pt đg tròn (C') là ảnh chủa đg tròn (C):
      (x-2)^2 + (y+3)^2=1
      b, viết pt đg tròn (C2) là ảnh của đg tròn
      (C1): x^2+y^2-4x-6y=10 qua T.v

  16. kiều Diễm says:

    Bài của thầy dễ hiểu lắm. Mai e có bài kiểm tra nhưng e không tự tin lắm nhờ có bài giãng của thầy mà e thông suốt hẳn . cảm ơn thầy !

  17. quân cao says:

    thầy ơi vì sao câu 1 cách 1 em làm ra x'*x' + y'*y' - 2x' + 4y' - 7 = 0 có đúng ko ạ thấy khác trên một xí ko biết đúng ko!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.