Tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Trong chuyên đề về tính biến thiên của hàm số thầy đã có khá nhiều bài giảng viết về dạng tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tuy nhiên đó mới chỉ là hàm bậc 3, hàm phân thức. Hôm nay thầy sẽ gửi tiếp tới các bạn cách tìm m để hàm số bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng bất kì cho trước.

Chú ý với các bạn 1 chút: Rất nhiều bạn comment hỏi bài toán mà trong bài giảng thầy đã có phương pháp hướng dẫn cụ thể rồi. Vì vậy trước khi comment các bạn nên xem kĩ những bài giảng trong chuyên đề này của thầy đã, rồi hãy đặt cầu hỏi thảo luận.

Xem đầy đủ chuyên đề đồng biến, nghịch biến: Tại đây nhé

Tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Thông thường trong các bài giảng thầy đã sử dụng 2 phương pháp, đó là:

  1. Cô lập tham số m, sử dụng bảng biến thiên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Phương pháp này chỉ sử dụng khi các bạn cô lập được m, thường lũy thừa của m=1, nếu lớn hơn 1 thì sử dụng phương pháp 2.
  2. Sử dụng xét dấu của tam thức bậc 2, vào bảng biến thiên và dựa vào từng dạng của đồ thị hàm số.

Trong bài giảng ngày hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các bạn sử dụng phương pháp thứ 2 đối với hàm bậc 4. Đây là phương pháp tổng quát có thể áp dụng cho mọi bài toán.

Xem thêm bài giảng:

Bài tập: Tìm m để hàm số bậc 4,  y=-x^4+2mx^2-m^2 nghịch biến trên khoảng (1;+\infty)

TXĐ: D=R

y'=-4x^3+4mx =-4x(x^2-m)

y'=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}x=0\hspace{2cm}(1)\\x^2=m\hspace{2cm}(2)\end{array}\right.

Với hàm bậc 4 trùng phương các bạn thấy nó luôn có khoảng đồng biến, nghịch biến. Tức là không bao giờ nó đồng biến hay nghịch biến trên R.

Tới đây sẽ có 2 trường hợp xét với y'=0. Ở đây các bạn có thể dựa vào dạng đồ thị của hàm bậc 4 để rõ hơn.

  • Trường hợp 1: Phương trình y'=0 có 1 nghiệm
  • Trường hợp 1: Phương trình y'=0 có 3 nghiệm

Trường hợp 1: Phương trình y'=0 có 1 nghiệm.

Các bạn thấy x=0 là 1 nghiệm rồi, do đó phương trình 2 phải vô nghiệm hoặc nếu có nghiệm thì nghiệm đó phải bằng 0. Từ đây ta có: m\leq 0

Với m\leq 0 thì phương trình y'=0 có 1 nghiệm x=0

Bảng biến thiên:

bang bien thien ham bac 4 có 1 nghiem

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (0;+\infty). Vậy hàm số cũng luôn nghịch biến trên khoảng (1;+\infty) với m\leq 0

Trường hợp 2: Phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Lúc này phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt \Rightarrow m>0 \Rightarrow \left[\begin{array}{ll}x_1=-\sqrt{m}\\x_2=\sqrt{m}\end{array}\right.

Bảng biến thiên:

bang-bien-thien-ham-bac-4-co-3-nghiem-phan-biet

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+\infty) thì x_1<x_2\leq 1 \Leftrightarrow m\leq 1. Kết luận ở trường hợp 2 này là :0< m\leq 1

Như vậy ở trường hợp 1 thì điều kiện của m là: m\leq 0, ở  trường hợp 2 thì điều kiện của m là :0< m\leq 1

Kết hợp 2 trường hợp lại ta có: Với m\leq 1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+\infty)

Không khó khăn lắm với bài toán tìm m để hàm bậc 4 nghịch biến trên đây chứ các bạn. Vâng đó là tìm m để hàm số nghịch biến. Thế nếu bài toán ở dạng tìm m để hàm số đồng biến thì sao? Các bạn sẽ vẫn áp dụng phương pháp này bình thường.

Xem thêm bài giảng về phương pháp này: Tìm m dựa vào xét dấu của tam thức bậc 2

Theo phỏng đoán chắc chắn sẽ có bạn comment hỏi về dạng đồng biến thì làm thế nào hả thầy? Cho nên thầy sẽ nói thêm chỗ này 1 chút.

Giả sử ta thay đổi yêu cầu bài toán đôi chút nhé:

Tìm m để hàm số bậc 4,  y=-x^4+2mx^2-m^2 đồng biến trên khoảng (1;2)

Các bạn vẫn xét 2 trường hợp như trên thôi, lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Nhưng để ý sẽ thấy ở trường hợp 1 các bạn sẽ không tìm được m thỏa mãn hàm số đồng biến trên (1;2).

Với trường hợp 2, để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) thì x_1<0<1<2<x_2 (dựa vào bảng biến thiên do các bạn lập nên nhé). Từ đây các bạn sẽ có 2\leq \sqrt{m} hay m\geq 4

bang-bien-thien-ham-bac-4-co-3-nghiem-phan-biet-p2

Lời kết

Như vậy dạng toán tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng bất kì cho trước sẽ đóng góp cho sự đầy đủ của chuyên đề về tính biến thiên của đồ thị hàm số. Mọi thắc mắc của các bạn về dạng bài tập tìm m hầu như đã được giải đáp trong chuyên đề này. Mọi đóng góp ý kiến cho bài giảng này nói riêng và chuyên đề này nói chung, xin comment xuống khung thảo luận phía dưới.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

12 Thảo luận

  1. tony pham says:

    rất tuyệt vời, sao cách dạy của thầy nó cứ "bị" gần gũi và dễ hiễu thế nào í, giúp em hiểu từ gốc đến cành nhưng vẫn chưa đến ngọn, muốn đến ngọn thì phải làm thêm nhiều bài tập và rút đc kinh nghiệm khi làm bài phải hông thầy,,, ahjhj,,, thik lắm ạ, mong thầy sẽ thành công hơn,,,,,,

    • Cám ơn em rất nhiều. Hãy chia sẻ những gì bạn thấy là hay tới mọi người nhé. Cuộc sống là sự cho và nhận. Khi cho đi bạn sẽ nhận được rất nhiều, cố níu giữ bạn chẳng nhận được bao nhiêu.

  2. Hòa says:

    bài nào thầy đăng cũng hay hết ạ mẹo có, đúng bản chất cũng có nói chung rất dễ hỉu ạ

  3. hana hammid says:

    thầy giải giúp em bài này được k ạ... y=x^4 +2mx^2+2m-1
    tìm m để y>0 với mọi x thuộc R

  4. Nguyễn Thu Thủy says:

    thầy ơi hình như ví dụ 2 là m lớn hơn hoặc bằng 4 chứ ạ vì nếu m=2 thì nghịch biên rồi ạ

    • ok. cám ơn em, thầy update lại rồi. Khi các em nghiên cứu bài học có lỗi nào thì comment thầy sửa nhé. Sai sót đôi khi vẫn sảy ra khi thầy up bài giảng

  5. Thưa thầy em đã lượt qua các bài giảng của thầy rồi ạ, làm sao để nhận được bài mới nhất của thầy ạ

  6. Tuấn says:

    thầy ơi trường hợp 2 của VD1 phải kết hợp 2 điều kiện của m chứ ạ

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.