Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng là một dạng toán được sự quan tâm của rất nhiều bạn. Đồng thời cũng là một dạng toán được vận dụng khá nhiều trong quá trình viết phương trình đường thẳng. Để làm được bài toán dạng này hôm nay thầy xin chia sẻ cùng các bạn một số phương pháp làm như sau:

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Bài toán: Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d.

Cách 1:

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d' đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó d' thỏa mãn: đi qua điểm M đã biết và nhận VTPT của d làm VTCP cho mình.

Bước 2: Tìm giao của đường thẳng d và đường thẳng d'. Giao điểm đó chính là tọa độ của hình chiếu H.

Cách 2:

Giả sử đường thẳng d cho dưới dạng tổng quát: Ax+By+C=0. Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi tọa độ điểm H là: H(x_H;y_H) và tìm vectơ chỉ phương của d\vec{u_d};

Bước 2: Tính \vec{MH}

Bước 3: Vectơ \vec{MH} \bot \vec{u_d} \Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u_d}=0   (1)

Bước 4: Vì H\in d \Rightarrow Ax_H + By_H + C=0     (2)

Bước 5: Từ (1) và (2) ta có hệ. Giải hệ này tìm được tọa độ của H.

Cách 3:

Giả sử đường thẳng d cho dưới dạng tham số: \left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right. t\in R

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d. Khi đó H\in d. Do đó tọa độ của điểm H(x_0+at;y_0+bt). Suy ra tọa độ của \vec{MH}

Bước 2: Vì MH\bot d \Leftrightarrow \vec{MH} \bot \vec{u_d}\Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u_d}=0. Từ đây ta sẽ tìm được t và tọa độ của điểm H.

Chú ý:

1. Nếu điểm M(x_0;y_0), khi đó tọa độ hình chiếu H của M trên:

  • Ox sẽ có tọa độ là H(x_0;0)
  • Oy sẽ có tọa độ là H(0;y_0)

2. Nếu điểm M \notin d mà bài toán yêu cầu: "Tìm tọa độ điểm H\in d sao cho MH ngắn nhất thì tương đương với việc tìm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

Xem thêm:

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân đường cao của tam giác

Bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Cho điểm M(3;-1) và đường thẳng d có phương trình: 3x-4y+12=0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M lên đường thẳng d. Từ đó suy ra tọa độ của điểm M_1 là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: 

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d' qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d:

d' \bot d nên phương trình đường thẳng d' có dạng: 4x+3y+C=0

Vì điểm M(3;-1) \in d' nên tọa độ của điểm M thỏa mãn:

4.3+3.(-1)+C=0 \Leftrightarrow C=-9

Vậy phương trình đường thẳng d' là: 4x=3y-9=0

Bước 2: Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của dd' và là nghiệm của hệ sau:

\left\{\begin{array}{l}3x-4y+12=0\\4x+3y-9=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\y=3\end{array}\right.

Vậy tọa độ hình chiếu H là: H(0;3)

Bước 3: Tìm tọa độ điểm M_1 là điểm đối xứng của điểm M qua d

M_1 là điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng d nên H sẽ là trung điểm của MM_1. Gọi tọa độ của điểm M_1(x_{M_1};y_{M_1}), theo biểu thức tọa độ liên quan tới trung điểm ta có:

\left\{\begin{array}{l}x_M+x_{M_1}=2x_H\\y_M+y_{M_1}=2y_H\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3+x_{M_1}=2.0\\-1+y_{M_1}=2.3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{M_1}=-3\\y_{M_1}=7\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm M_1 là: M_1(-3;7)

Cách 2:

Bước 1:

Giả sử H(a;b) \Rightarrow \vec{MH}(a-3;b+1)

\vec{u}(4;3) là vectơ chỉ phương của d

MH\bot d nên ta có: \vec{MH}\bot \vec{u}\Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u}=0\Leftrightarrow 4(a-3)+3(b-1)=0\Leftrightarrow 4a+3b-9=0      (1)

Bước 2:

Vì điểm H(a;b) \in d nên ta có: 3a-4b+12=0    (2)

Bước 3:

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ tạo bởi (1) và (2), ta có:

\left\{\begin{array}{l} 4a+3b-9=0\\3a-4b+12=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=0\\b=3\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm H là: H(0;3)

Cách 3: 

Bước 1: Chuyển d về phương trình tham số

  • Lấy 1 điểm bất kì thuộc d là: A(0;3)
  • Vectơ chỉ phương của d là: \vec{u}(4;3)
  • Phương trình tham số của d là:\left\{\begin{array}{l}x=4t\\y=3+3t\end{array}\right.  t\in R

Bước 2:

Vì điểm H\in d nên ta có tọa độ của H là: H(4t;3+3t)\Leftrightarrow \vec{MH}(4t-3;3t+4)

Vectơ chỉ phương của d là: \vec{u}(4;3)

MH\bot d \Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u}=0\Leftrightarrow 4(4t-3)+3(3t+4)=0\Leftrightarrow t=0

Với t=0\Rightarrow H(0;3)

 

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

8 Thảo luận

  1. aa11 says:

    Ở bài 1 cách 2 bước 1:

    Cái vectơ chỉ phương của phải là (3; -4) chứ thầy

  2. Vân Nguyễn says:

    Nếu đthg d ko cho biết thì làm ntn vậy thầy

  3. Trân says:

    thầy ơi sao hình chiếu của 1 điểm thuộc đường tròn không rơi ra ngoiaf hình chiếu của chính đt đó qua phép chiếu vuông góc lên đt d ạ?

  4. Thảo says:

    Bài thầy giải rất hữu ích ạ

  5. Phong Vuong says:

    thầy ơi, nếu tìm hình chiếu của 1 điểm lên 1 mp mà theo phương chiếu của 1 vecto khác thì phải làm thế nào ạ?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *