Tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital

Đối với giới hạn hàm số dạng vô định chúng ta thường gặp nhiều hơn là 2 dạng: 0/0 và vô cùng/vô cùng. Hai dạng vô định này thầy đã hướng dẫn các bạn làm trong hai bài giảng trước, nếu bạn nào chưa xem thì ghé thăm tại đây nhé. Trong bài giảng hôm nay thầy muốn hướng dẫn các bạn cách tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital.

Tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital

Quy tắc L'Hopital

Cho hai hàm số f(x)g(x) \neq 0.

  • Nếu \lim \limits_{x \to c}{f(x)}=\lim \limits_{x \to c}{g(x)}=0 và \lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}=L  thì \lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}.  L có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
  • Nếu \lim \limits_{x \to c}{f(x)}=\lim \limits_{x \to c}{g(x)}=\pm\infty và \lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}=L  thì \lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}.  L có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

c ở đây có thể là 1 số x_0 hoặc có thể là \pm\infty

Điều kiện để áp dụng được quy tắc L'Hopital

Để áp dụng được quy tắc L'Hopital thì giới hạn \lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}} phải tồn tại. Nếu giới hạn \lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}} mà không tồn tại thì không thể áp dụng được nhé.

Khi đó ta không thể kết luận được :\lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to c}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}

Với bài toán mà áp dụng được quy tắc L'Hopital, nếu những bước tiếp theo vẫn tồn tại giới hạn dạng \dfrac{0}{0} hoặc là \dfrac{\infty}{\infty} thì các bạn vẫn cứ áp dụng quy tắc L'Hopital cho tới khi hết dạng vô định.

Quy tắc L'Hopital ở đây vận dụng rất nhiều tới đạo hàm, vì vậy các bạn cần phải nhớ được hết các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số.

Bài tập tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:

a. \lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{tanx-x}{x-sinx}} \hspace{1.5cm} b. \lim \limits_{x\to 1}{\dfrac{1+cos\pi x}{x^2-2x+1}}  \hspace{1.5cm} c. \lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{x^3}{x-sinx}}

Hướng dẫn giải:

a. Các bạn thấy khi x \to 0 thì giới hạn trên có dạng \dfrac{0}{0}. Do đó ta sẽ áp dụng quy tắc L'Hopital cho giới hạn này như sau:

\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{tanx-x}{x-sinx}}

=\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{(tanx-x)'}{(x-sinx)'}}

=\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{\dfrac{1}{cos^2x}-1}{1-cosx}}

=\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{1-cos^2x}{(1-cosx).cos^2x}}

=\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{(1-cosx)(1+cosx)}{(1-cosx).cos^2x}}

=\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{1+cosx}{cos^2x}}

=\dfrac{1+1}{1}=2

Vậy : \lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{tanx-x}{x-sinx}}=2

b.  Các bạn thấy khi x \to 1 thì giới hạn trên cũng có dạng \dfrac{0}{0}. Ta có:

\lim \limits_{x\to 1}{\dfrac{1+cos\pi x}{x^2-2x+1}}

=\lim \limits_{x\to 1}{\dfrac{(1+cos\pi x)'}{(x^2-2x+1)'}}

=\lim \limits_{x\to 1}{\dfrac{-(\pi x)'.sin\pi x}{2x-2}}

=\lim \limits_{x\to 1}{\dfrac{-\pi.sin\pi x}{2x-2}}                  (tới đây vẫn dạng 0/0, áp dụng tiếp)

=\lim \limits_{x\to 1}{\dfrac{-\pi.(\pi x)'.cos\pi x}{2}}

=\lim \limits_{x\to 1}{\dfrac{-\pi.\pi.cos\pi x}{2}}

=\dfrac{-\pi^2.(-1)}{2}=\dfrac{\pi^2}{2}

Vậy: \lim \limits_{x\to 1}{\dfrac{1+cos\pi x}{x^2-2x+1}}=\dfrac{\pi^2}{2}

c. Các bạn thấy khi x \to 1 thì giới hạn trên cũng có dạng \dfrac{0}{0}. Ta có:

\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{x^3}{x-sinx}}

\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{(x^3)'}{(x-sinx)'}}

=\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{3x^2}{1-cosx}}

=\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{3x^2}{1-cosx}}      (tới đây vẫn có dạng 0/0 nên áp dụng tiếp)

=\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{6x}{sinx}}             (tới đây vẫn có dạng 0/0 nên áp dụng tiếp)

=\lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{6}{cosx}}

=\dfrac{6}{1}=6

Vậy : \lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{x^3}{x-sinx}}=6

Bài tập 1 vừa rồi gồm toàn bộ là giới hạn vô định dạng lượng giác, bài tập 2 ngay sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn bài tập giới hạn vô định dạng căn thức, giới hạn hàm số mũ, giới hạn hàm số lũy thừa và giới hạm của hàm logarit.

Bài tập 2: Tính các giới hạn sau:

a. \lim \limits_{x\to a}{\dfrac{a^x-x^a}{x-a}} \hspace{1cm} b. \lim \limits_{x \to 0}{\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}} \hspace{1cm}  c. \lim \limits_{x \to 4}{\dfrac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{5+x}-3}} \hspace{1cm} d. \lim \limits_{x \to 1}{\dfrac{lnx}{x^2-1}}

Hướng dẫn giải:

a. Ta thấy ý (a) là trường hợp \dfrac{0}{0}, áp dụng quy tắc L'Hopital ta có:

\lim \limits_{x\to a}{\dfrac{a^x-x^a}{x-a}}

=\lim \limits_{x\to a}{\dfrac{(a^x-x^a)'}{(x-a)'}}

=\lim \limits_{x\to a}{\dfrac{a^x.lna-a.x^{a-1}}{1}}

=a^a.lna-a.a^{a-1}

=a^a.lna-a.\dfrac{a^a}{a}

=a^a.lna-a^a

Vậy \lim \limits_{x\to a}{\dfrac{a^x-x^a}{x-a}}=a^a.lna-a^a

b. Ta thấy ý (b) là trường hợp \dfrac{0}{0}, áp dụng quy tắc L'Hopital ta có:

\lim \limits_{x \to 0}{\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}}

=\lim \limits_{x \to 0}{\dfrac{(\sqrt{1+x^2}-1)'}{x'}}

=\lim \limits_{x \to 0}{\dfrac{\dfrac{2x}{2.\sqrt{1+x^2}}}{1}}

=\lim \limits_{x \to 0}{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}

=\dfrac{0}{\sqrt{1+0}}

=0

Vậy \lim \limits_{x \to 0}{\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}}=0

c. Ta thấy ý (c) là trường hợp \dfrac{0}{0}, áp dụng quy tắc L'Hopital ta có:

\lim \limits_{x \to 4}{\dfrac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{5+x}-3}}

=\lim \limits_{x \to 4}{\dfrac{(\sqrt{1+2x}-3)'}{(\sqrt{5+x}-3)'}}

=\lim \limits_{x \to 4}{\dfrac{\dfrac{2}{2.\sqrt{1+2x}}}{\dfrac{1}{2.\sqrt{5+x}}}}

=\lim \limits_{x \to 4}{\dfrac{2.\sqrt{5+x}}{\sqrt{1+2x}}}

=\dfrac{2\sqrt{9}}{\sqrt{9}}

=2

Vậy \lim \limits_{x \to 4}{\dfrac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{5+x}-3}}=1

d. ý (d) này cũng thuộc giới hạn dạng \dfrac{0}{0}, nên áp dụng quy tắc L'Hopital ta có:

\lim \limits_{x \to 1}{\dfrac{lnx}{x^2-1}}

=\lim \limits_{x \to 1}{\dfrac{(lnx)'}{(x^2-1)'}}

=\lim \limits_{x \to 1}{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{2x}}

=\dfrac{1}{2}

Vậy \lim \limits_{x \to 1}{\dfrac{lnx}{x^2-1}}=\dfrac{1}{2}

Qua hai bài tập trên hẳn các bạn đã rõ nhiều về cách tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital. Thông thường hay áp dụng cho dạng bài tập tìm giới hạn hàm số dạng \dfrac{0}{0}\dfrac{\infty}{\infty}.

Nhưng nếu gặp bài toán dạng 0.\infty hay \infty - \infty thì các bạn cứ việc chuyển nó về dạng vô định không trên không hoặc vô cùng trên vô cùng rồi áp dụng .L'Hopital. Hẹn gặp lại các bạn ở những bài viết tiếp theo.

 

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

31 Thảo luận

  1. Tôi says:

    Cảm ơn thầy nhiều ạ, mong thầy có nhiều bài viết hay nhiều hơn nữa!!!

  2. Phượng says:

    Rất hay và dễ hiểu thầy ạ, cảm ơn thầy

  3. Thanh thư says:

    Thầy ơi cho em hỏi bài
    M= lim căn bậc 4 8x +1 - 1/ căn
    x->0
    Bậc 5 10x+1-1 thầy giảng giúp em với ạ em xin cám ơn

    • Trên tử và dưới mẫu có cùng dạng:
      Trên tử t^4-1^4=(t-1)(t^3+t^2+t+1)
      Mẫu t^5-1^5=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)
      Cả tử và mẫu đều có biểu thức dạng t-1
      Em nhân liên hợp phần còn lại của tử và mẫu, khi đó tử và mẫu là:
      Tủ 8x+1-1=8x
      Mẫu 10x+1-1=10x
      Tới đây ok rồi

      HOặc em có thể đạo hàm tử/ đạo hàm mẫu

  4. Ngô Thanh Thiên says:

    hay lắm ạ, rất cảm ơn thầy

  5. nguyen duc quang says:

    thầy ơi cho e hỏi là quy tắc lopitan này có áp dụng cho phần tiền đề sup,inf được không ạ

  6. trần minh hiếu says:

    thầy có thể giúp em bài này dk k ạ
    tìm đạo hàm cấp cao của y= (2x + 1).e ^ (3x-1)

  7. Việt Hà says:

    Dễ hiểu quá! Cảm ơn thầy nhiều lắm, web của thầy rất bổ ích, trình bày rất đẹp và dễ hiểu! Mong thầy có những bài giảng hay hơn nữa!

  8. trương thị trâm says:

    thầy ơi giải giúp e bài này đc k thầy...lim (log(x+h)+log(x-h)-2logx)/(h^2) với h->0 và x>0

  9. Th cho e hỏi cách chuyển từ dạng 0× vô cùng về dạng 0/0 như thế nào vậy th

  10. học sinh nghèo says:

    thầy ơi cho em hỏi là
    1, lim (x+e^2x)^ 1/x tính như nào vậy ạh? e k hiu lắm ạh.
    x->0
    2, xét tính hội tụ của: tích phân dx/(3cănx) trong khoảng (-8;-1) (lưu ý là -8 là trừ vô cùng ạ)
    e phải làm như thế nào ạ?

  11. hòa says:

    thầy ơi thầy giải giúp e 2|x+1|-5căn của x2-3 tất cả \2x+3

  12. Trịnh Mạnh Quang says:

    thầy là một lập trình viên à

    • Không em à, thầy là giáo viên tự do. Cũng có yêu thích chút công nghệ tin học,thầy xây dựng ra website này với mục đích chia sẻ kiến thức với những gì mình có.

  13. Hồng phạm says:

    Thầy giúp e bài này với ạ lim (x-2)^ cos pi trên x khi x->2

  14. khoa học tự nhiên says:

    thầy ơi có câu nào mà ta phải e mũ lên rồi mới tính ko ạ. em gặp bài như vậy

  15. Kim Ngan says:

    Thầy giúp em bài này với ạ. Lim x/(1+e^1/x) khi x —>0+

  16. Hưng says:

    NHỜ THẦY GIÚP E BÀI NÀY E CẢM ƠN Ạ
    C/m với mọi số thực m>=n>=1/2 thì pt

    (m^2 - n^2 - m + căn(n^2-6n+10) + 3)*x^2017 + 5x^2 - 45 =0

  17. Tuấn Anh says:

    thầy ơi cho em hỏi bài lim(7* căn bậc hai(2-x) - 1)/(x - 1) khi x->1

  18. Phượng says:

    Thầy dạy em cách tính giới hạn khi tiến tới vô cùng với ạ làm sao biết được khi nào ra hằng khi nào ra vô cùng ạ.

  19. Phương says:

    Thầy dạy em cách tính giới hạn khi tiến tới vô cùng với ạ.

  20. Cường says:

    Lim ( x -0+) (sinX.arccos1/X)/(ln(1-2x2))
    Dạng vô định 0/0.
    Cám ơn thầy

  21. Cường says:

    Lim ( x -0+) (sinX.arccos(1/X))/(ln(1-2x2))
    Dạng vô định 0/0.
    Cám ơn thầy

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.