Tìm ảnh của một điểm qua phép quay

Trong chuyên đề về phép biến hình, thầy có viết được khá nhiều bài giảng về các dạng bài tập sử dụng phép tịnh tiếnphép đối xứng tâm. Nội dung chính của dạng bài tập đó chủ yếu dựa vào việc tìm tọa độ điểm hay là tìm ảnh của một điểm.

Trong bài giảng này thầy giới thiệu tới các bạn phép quay, đặc biệt thầy sẽ chia sẻ với các bạn công thức dùng để tìm ảnh của một điểm qua phép quay. Các bạn cũng có thể hiểu công thức này dùng để tìm tọa độ của một điểm qua phép quay.

Đối với phép quay thì chúng ta cần quan tâm tới tâm quay và góc quay. Tâm quay ở đây thông thường người ta hay cho là điểm O (gốc tọa độ), còn không thì có thể bài toán cho điểm I bất kì khác điểm O. Đối với góc quay có thể âm hoặc dương. Âm hay ương phụ thuộc vào chiều quay, theo chiều kim đồng hồ là chiều âm, ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương.

1. Công thức tìm ảnh của một điểm qua phép quay

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(a;b) cố định. Xét phép quay tâm I, góc quay \varphi. Giả sử cho điểm M(x;y) và điểm M'(x';y') là ảnh của điểm M qua phép quay tâm I. Khi đó ta có:

\left\{\begin{array}{ll}x'=(x-a)cos\varphi -(y-b)sin\varphi +a\\y'=(x-a)sin\varphi +(y-b)cos\varphi +b\end{array}\right.

Trường hợp đăc biệt:

Trong nhiều bài toán người ta cho tâm quay I là điểm O(0;0). Khi đó biểu thức tọa độ của phép quay tâm O có dạng như sau:

\left\{\begin{array}{ll}x'=xcos\varphi -ysin\varphi\\y'=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.

Trong biểu thức trên tọa độ của điểm I được thay bằng tọa độ của điểm O nên biểu thức gọn và đẹp hơn rất nhiều.

2. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm ảnh của 3 điểm A(3;-2); B(0;4) qua phép quay tâm O là gốc tọa độ, góc quay là -\dfrac{\pi}{4}

Hướng dẫn giải:

Khi đọc xong bài này, ta thấy ngay góc quay người ta cho mình là gốc tọa độ O nên việc xác định ảnh của các điểm trên là một côn việc khá dễ dàng. Chỉ việc thay vào biểu thức tọa độ là bài toán được giải quyết

Thầy nhắc lại biểu thức tọa độ xuống đây để các bạn tiện theo dõi:

\left\{\begin{array}{ll}x'=xcos\varphi -ysin\varphi\\y'=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.

Với bài toán trên thì góc quay của chúng ta là \varphi=-\dfrac{\pi}{4}

a. Tìm tọa độ ảnh của điểm A(3;-2)

Gọi tọa độ ảnh của điểm A là A'(x';y'). Khi đó ta có:

\left\{\begin{array}{ll}x'=xcos\varphi -ysin\varphi\\y'=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=3cos(-\dfrac{\pi}{4}) -(-2)sin(-\dfrac{\pi}{4})\\y'=3sin(-\dfrac{\pi}{4}) -2cos(-\dfrac{\pi}{4})\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=3(\dfrac{\sqrt{2}}{2}) +2(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\y'=3(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}) -2(\dfrac{\sqrt{2}}{2})\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2\sqrt{2}}{2}\\y'=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2} -\dfrac{2\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\y'=-\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm A'A'(\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\dfrac{5\sqrt{2}}{2})

b. Tìm tọa độ ảnh của điểm B(0;4)

Gọi tọa độ ảnh của điểm B là B'(x';y'). Khi đó ta có:

\left\{\begin{array}{ll}x'=xcos\varphi -ysin\varphi\\y'=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=0.cos(-\dfrac{\pi}{4}) -4sin(-\dfrac{\pi}{4})\\y'=0.sin(-\dfrac{\pi}{4}) +4cos(-\dfrac{\pi}{4})\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=0.(\dfrac{\sqrt{2}}{2}) -4(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\y'=0.(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}) +4(\dfrac{\sqrt{2}}{2})\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=4\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\y'=4\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x'=2\sqrt{2}\\y'=2\sqrt{2}\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm B'B'(2\sqrt{2};2\sqrt{2})

Các bạn thấy công thức trên dùng để tìm ảnh của một điểm qua phép quay có đơn giản và dễ làm không? Qua dễ làm phải không? Cái gì mà chỉ việc thay vào công thức có sẵn thì hầu như là đơn giản. Một bài tập là đủ cho các bạn tham khảo rồi, điều quan trọng là thầy đã giới thiệu với các bạn công thức tìm tọa độ điểm ảnh. Các bạn có thể tìm thêm bài tập để áp dụng cho công thức trên.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

30 Thảo luận

  1. Mão vũ says:

    Lớp 11 áp dụng công thức này được không ạ

  2. THẢO says:

    Thầy ơi thầy giải thích giúp em mấy cái công thức của phép quay được không ạ em mới học lớp 10 nên đọc không hiểu gì hết

  3. THẢO says:

    Vâng ạ. Em mong thầy sẽ sớm viết bài giải thích

  4. Rose myrtle says:

    Thầy ơi thầy ví dụ cho e một bt lý thuyết đc ko ạ, áp dũng kiểu chứng minh và cho biết phép quay tâm O với góc quay bao nhieu thì biến hình này thành hình khác đc ko ạ! E cảm ơn thầy ạ!

  5. Khánh says:

    Chứng minh công thức này làm sao vậy thầy

  6. Người thầy. says:

    Để chứng minh công thức trên các em kết hợp bài toán đặc biệt và phép tịnh tiến.

  7. Tôn Nữ Như Ý says:

    Vậy chứng minh công thức trên như thế nào

  8. Kim Nhung says:

    Cám ơn bài viết của thầy rất nhiều.

  9. Nguyễn Thu says:

    thầy giải thích giúp em công thức với ạ.

  10. Vi says:

    nhiều bài ko cho tâm thì phải làm sao ạ

  11. Như Tuyền says:

    Thầy ơi làm cách nào để ôn tập lại và nắm vingữ các kiến thức cả hình và đại từ đầu năm tới giờ ạ. E vì đầu năm ham chơi nên em bị mất căng bản. Thầy giúp em được không ạ

    • Nếu rỗng kiến thức từ đầu năm tới giờ, bù lại đơn giản quá vì đã học đc mấy đâu em. Em cần bổ sung lại các kiến thức về mặt lý thuyết. Nếu không vưng lý thuyết thì rất khó để làm bài tập, đặc biệt là môn hình. Vững lý thuyết phục vụ rất nhiều cho trắc nghiệm

  12. Trâm says:

    Thầy ơi thầy chứng minh mấy công thức trên giúp e dk k ạ.

  13. Duc says:

    Thây cho em hỏi khi làm có cần phải chứng minh công thức không ạ

    • trong sách gk người ta không cho công thức này, do đó trong sách sẽ không có bài tập phải sử dụng tới công thức này. Còn giờ thi trắc nghiệm các em cứ thay trực tiếp vào thôi. Chứng minh thì dài lắm.

  14. Hân says:

    Cảm ơn thày vì công thức ạ. Em đọc sgk mà chẳng hiểu gì cả ^^

  15. Minh says:

    Thầy ơi, e làm theo cách bình thường xài dịnh lí cos và IA=IA' . Giải ra thì ra 2 nghiệm. 2 nghiệm này có 1 nghiệm là đúng chiều còn 1 cái là ngc chiều. vậy thì có cách nào ngoài việc vẽ lên trục toạ độ ko ạ?

  16. tùng says:

    nếu bài cho thực hiện nhiều phép quay liên tiếp thì có cách nào giải nhanh hơn k thầy

  17. Trường hợp ngược lại thì công thức như thế nào vậy Thầy ? Cho ảnh tìm điểm í ạ

  18. luong says:

    thầy ơi bài tập áp dụng khó lắm thầy ạ

  19. Hưng says:

    thầy chứng minh hộ em được ko thầy. Thanks thầy nhiều

  20. Đức says:

    Thầy cho e hỏi là góc quay -90° thì làm thế nào ak

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.