Tìm ảnh của đường thẳng bằng phép quay

Tiếp tục trong dạng bài tập áp dụng phép quay, hôm nay thầy sẽ gửi tới các bạn dạng toán: Tìm ảnh của đường thẳng bằng phép quay. Để làm được dạng toán này thông thường chúng ta sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay. Chúng ta có thể áp dụng trực tiếp hoặc gián tiếp để giải bài toán dạng này. Dưới đây thầy sẽ trình bày với các bạn một bài tập, dựa vào đó các bạn có thể áp dụng được cho những bài toán khác tương tự.

Xem thêm:

Tìm ảnh của đường thẳng bằng phép quay

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x-3y+6=0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay -90^0.

Hướng dẫn giải:

Đối với dạng toán yêu cầu tìm ảnh của đường thẳng bằng phép quay thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo 2 phương pháp:

  1. Dựa trực tiếp vào biểu thức tọa độ của phép quay.
  2. Lấy 2 điểm thuộc đường thẳng d, tìm ảnh của 2 điểm này qua phép quay và viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm ảnh này.

Cách 1: 

Gọi M(x;y) là điểm bất kì thuộc đường thẳng d. M'(x';y') là ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc quay -90^0. Khi đó M' sẽ thuộc đường thẳng d'.

Theo biểu thức tọa độ của phép quay tâm O, góc quay -90^0 ta có:

\left\{\begin{array}{ll}x'=xcos\varphi -ysin\varphi\\y'=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=xcos(-90^0) -ysin(-90^0)\\y'=xsin(-90^0) +ycos(-90^0)\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=0+y\\y'=-x +0\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=y\\y'=-x\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-y'\\y=x'\end{array}\right.             (1)

Thay (1) vào phương trình đường thẳng d ta có:

2(-y')-3x'+6=0\Leftrightarrow 3x'+2y'-6=0

Vậy phương trình đường thẳng d' là: 3x+2y-6=0

Cách 2:

Bước 1: Lấy 2 điểm bất kì MN thuộc đường thẳng d có tọa độ là: M(0;2); N(-3;0)

Bước 2: Tìm ảnh của hai điểm MN qua phép quay tâm O góc quay -90^0 là hai điểm M'(x_1;y_1)N'(x_2;y_2).

Tọa độ của điểm M' là:

\left\{\begin{array}{ll}x'=xcos\varphi -ysin\varphi\\y'=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=0. cos(-90^0) -2.sin(-90^0)\\y'=0.sin(-90^0) +2.cos(-90^0)\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=2\\y'=0\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm M' là: M'(2;0)

Tọa độ của điểm N' là:

\left\{\begin{array}{ll}x'=xcos\varphi -ysin\varphi\\y'=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=-3. cos(-90^0) -0.sin(-90^0)\\y'=-3.sin(-90^0) +0.cos(-90^0)\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x'=0\\y'=3\end{array}\right.

Vậy tọa độ của điểm N' là: N'(0;3)

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d' đi qua hai điểm M'N'.

- Ta có vectơ \vec{M'N'}=(-2;3).

- Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là: n_{d'}=(3;2)

- Đường thẳng d' đi qua điểm M'(2;0) nhận n_{d'}=(3;2) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3(x-2)+2(y-0)=0\Leftrightarrow 3x+2y-6=0

Vậy phương trình đường thẳng d' là: 3x+2y-6=0

Qua đây các bạn đã rõ cách làm cho bài toán tìm ảnh của đường thẳng bằng phép quay. Giờ các bạn hãy rèn luyện thêm cho mình với hai bài tập tương tự này nhé. Các bạn có phương pháp nào hay thì hãy chia sẻ với mọi người dưới phần bình luận để cùng nhau tham khảo.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x-3y+6=0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 60^0.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d' có phương trình: x-2y+4=0. Viết phương trình đường thẳng d là tạo ảnh của đường thẳng d' qua phép quay tâm O, góc quay 45^0.

 

 

 

 

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

46 Thảo luận

  1. Định says:

    cảm ơn thầy nhiều, bài giảng của thầy rất hay, chúc thầy nhiều sức khỏe để có thêm nhiều bài giảng nữa ạ!

  2. khánh says:

    thầy ơi giải thích công thức đó được không ạ,công thức đó lấy ở đâu ra vậy

     

    • Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm I (a;b). Gọi α là một số thực bất kỳ.
      Gọi M'(x';y') ảnh của điểm M(x;y) qua phép quay tâm I, góc quay α.
      Đặt IM = IM' = r
      Gọi φ và φ' là góc định hướng vectơ IM và IM' với trục Ox.
      Ta có:
      x - a = r.cosφ và y - b = r.sinφ
      φ' = φ + α
      x' - a = r.cosφ' và y' - b = r.sinφ'
      Suy ra:
      x'-a = r.cos(φ+α) = r.cosφ.cosα - r.sinφ.sinα = (x-a).cosα - (y-b).sinα
      y'-b = r.sin(φ+α) = r.cosφ.sinα + r.sinφ.cosα = (x-a).sinα + (y-b).cosα

      Trường hợp đặc biệt thì I thay cho điểm O. I(a;b) = O(0;0)

  3. Nguyễn Mạnh Vũ says:

    chỗ vecto đấy sao lại là (-2:3)

    • bánh bao says:

      Véc tơ M'N' =điểm cuối -điểm đầu
      Cụ thể ở đây M(2;0) và N(0;3)
      Lấy 0-2 và 3-0 sẽ ra vecto cần tìm nhé

  4. ThaoAna says:

    bài giảng của thầy rất hay và hữu ích 🙂

  5. Mai Anh says:

    cảm ơn thầy nhiều ạ

  6. De Moon says:

    Sao trong lúc em học đâu thấy công thức đó đâu ... ?? Giải cánh dễ hiểu hơn ik thầy

  7. Dũng says:

    Thầy ơi cho em hỏi câu hỏi nằm trong bài Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
    Đề: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điểm M thuộc cạnh SD sao cho SD=3SM.
    a, Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
    b, Xác định giao điểm I của BM và (SAC). Chứng minh I là trung điểm của SO
    c, Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MAB)

  8. NamThan says:

    Thầy ơi! vậy ảnh một đường thăng qua phép quay tâm O góc quay là 180độ là chính nó ạ??/

  9. NamThan says:

    Thầy ơi! vậy ảnh một đường thăng qua phép quay tâm O góc quay là 180độ là chính nó ạ??/

  10. Thùy Vương says:

    Thầy ơi. Ví dụ phép quay tâm O 45 độ (A)=A' có công thức nào để tìm ảnh A' ko ạ

  11. Thùy Vương says:

    Thầy ơi. Ví dụ phép quay tâm O 45 độ (A)=A' có công thức nào để tìm ảnh A' ko ạ

  12. Lớp 11 says:

    Em chào thầy, em đã được bạn bè giới thiệu và rất thích trang web của thầy, em thấy trang web của thầy khá đầy đủ nhưng thầy có thể giúp em về 'Qũy tích' (dạng như 1 điểm cố định và 1 diểm chạy) được không ạ. Em đang cầm lắm aj, em cảm ơn

    • Em hỏi cụ thể vào nội dung nào? Nếu thầy có tài liệu thì thầy giúp, ngược lại thì thầy đành xin lỗi em vậy.

      • Lớp 11 says:

        Thầy ơi, thầy giải đề này cho em được không ạ
        Cho đường tròn C(I,R) lấy hai điểm cố định B và C, một điểm A thay đổi trên (C),gọi H là trực tâm tam giác ABC, B' LÀ ĐIỂM ĐỐI XỨNG với B qua tâm I.
        a/CMR vector AH=vector B'C
        b/Tìm tập hợp điểm H khi A thay đổi
        Thầy giúp em với ạ em cần lắm

        • a. Xét tứ giác AHB'C có:
          AH vuông góc BC,B'C vuông góc BC => AH // B'C
          CH vuông góc AB,B'A vuông góc AB => CH // AB'
          => AB'CH là hình bình hành => \vec{AH}=\vec{B'C}

          b. Vì B'C cố định, mà \vec{AH}=\vec{B'C} nên khi A chuyển động trên đường tròn tâm I thì H chuyển động trên đường tròn tâm I' là ảnh của đường tròn I qua phép tịnh tiến theo vectơ \vec{B'C}

  13. Lớp 11 says:

    Thầy ơi, thầy giải đề này cho em được không ạ
    Cho đường tròn C(I,R) lấy hai điểm cố định B và C, một điểm A thay đổi trên (C),gọi H là trực tâm tam giác ABC, B' LÀ ĐIỂM ĐỐI XỨNG với B qua tâm I.
    a/CMR vector AH=vector B'C
    b/Tìm tập hợp điểm H khi A thay đổi
    Thầy giúp em với ạ em cần lắm

  14. ngongoc says:

    Thầy ơi giup e vs mai e kt rồi mà chẳng hiểu gì cả
    Tìm ảnh của đt qua Q (0,90)
    Biết A(-3,1) V(2,2) và đ:x+2y+1=0

  15. bùi văn bình says:

    mong thầy giải thích giùm em bài toán này vợi
    cho hình chữ nhật abcd o là gia điểm 2 đường chéo, ảnh của tam giác bcd qua phép quay tâm o góc -180 độ
    đáp số là tam giác dab
    em cảm ơn thầy rất nhiều

  16. 11A says:

    Thầy ơi giúp e bài này với e làm theo cách của thầy mà k ra kết quả như trong sách
    trong mp Oxy cho d: x+y-2=0.Tìm ảnh của d qua Q(0,45)

  17. 11A says:

    Thầy giúp e bài này với ạ:
    Cho 2 đường tròn cùng có tâm O,bán kính lần lượt là R và r(R>r).A là 1 điểm thuộc (O,r).Hãy dựng đường thẳng qua A cắt (O,r) tại B, cắt (O,R) tại C,D sao cho CD=3AB

  18. Dương says:

    Thầy ơi! Hai công thức trên đều được sử dụng như nhau hay có lưu ý gì không ạ?

  19. hanh says:

    thầy ơi cho em hỏi bài này vs : d:x-y+4=0 tìm ănh của d qua phép quay tâm I(0,3) góc quay 180

  20. thủy says:

    thầy nếu như quay góc 180 cũng dùng ct trên đó ạ

  21. Lâm sung says:

    Thầy cho e hỏi cho 2 đg thẳng cắt nhau 1gocs 23độ thì phép quay là bao nhieu ah e cảm ơn :))))

  22. Hằng says:

    Thầy ơi cho e hỏi Trong mo Oxy cho đt d: x-y+4=0 hỏi ảnh của d qua phép quay tam I(0;3) qua góc 90 độ là gì ạ

    • Hằng says:

      Góc quay 180 thầy ạ

      • Với bài này em có thể áp dụng 2 cách:
        1. Sử dụng công thức phép quay thầy cho trong bài giảng
        2. Với góc 180 độ thì phép quay trở thành phép đối xứng tâm I.
        Lấy 2 điểm thuộc d, tìm ảnh của 2 điểm đó qua phép đối xứng tâm I đc 2 điểm ảnh.
        Viết ptđt qua 2 điểm ảnh

  23. lớp11 says:

    Thầy ơi giúp em làm bài này ạ : cho hình chóp s.abcd có đáy là hbh . Gọi c' là trung điểm của sc , m là điểm di động trên sa . (p) là mặt phẳng qua c'm và ss với bc cắt sb , sd tại b' và n
    A, tìm giao tuyến của (sab) và (scd) . Tìm giao điểm của ac' va (sbd)
    B, tứ giác mb'c'n là hình thang
    C, xác định vị trí của m để mb'c'n là hbh

    • Trước tiên em xác định mặt phẳng (P)
      - (P) C' và song song BC nên giao tuyến của (P) và (SBC) là đường C'x song song BC cắt SB tại B'.
      - (P) chứa M và song song BC nên song song AD =>giao tuyến của (P) và (SAD) là đường My song song AD cắt SD tại N
      => Xác định đc (P)
      A. giao tuyến là đường Sx song song với AB
      B. Gọi O là giao điểm Ac và BD. giao điểm của AC' và (SBD) là giao điểm của AC' và SO
      C. Chứng minh MN//B"C'
      D. M là trung điểm của SA

  24. Giang says:

    Thấy cho e hỏi tìm ảnh pt đt có dạng (x-1) tất cả bình phương+(y+2) tất cả bình. Với phép quay góc 90 độ

  25. Minh says:

    thầy ơi, cho em hỏi. hình vuông ABCD tâm O. Ảnh của tâm giác AOD qua phép quay tâm O, góc quay 270 độ là gì vậy thầy?

  26. Minhh Hoàii says:

    Thầy cho e hỏ i bài nàu vs ạ
    trong mặt phẳng toạ độ xét. Phép biến hình F biến mỗi điểm M(x,y) thành M'(2x-1,-2y+3).viết phương trình dường thẳng d'là ảnh của d:x-2y+6=0 qua phép biến hình F

  27. Thủy says:

    cảm ơn bài giảng đầy hữu ích của thầy. Thầy có thể giải đáp giúp e bài toán này được ko ạ?
    Cho 2 điểm A, B cố định. với mỗi điểm M và 2 phép quay tâm A, B có cùng góc quay thì hợp của 2 phép quay là phép đối xứng tâm O mà tâm đối xứng là đỉnh tam giác vuông cân OAB

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.