Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 để giải toán

Trong chuyên đề khảo sát hàm số chúng ta nghiên cứu về 3 hàm cơ bản là: Hàm số bậc 3: y=ax^3+bx^2+cx+d, hàm trùng phương y=ax^4+bx^2+c, hàm phân thức y=\dfrac{ax+b}{cx+d}. Đối với mỗi hàm chúng lại có các tính chất khác nhau. Trong bài giảng hôm nay thầy muốn chia sẻ ít kinh nghiệm trong việc dựa vào hình dạng đồ thị của các hàm để làm một số bài toán liên quan trong khảo sát. Cụ thể bài giảng này thầy sẽ giúp chúng ta có một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 để giải toán.

dang do thi ham bac 3

Nhìn vào dạng tổng quát của đồ thị hàm số trong hình vẽ ta thấy có 4 dạng đồ thị cho hàm bậc 3, tương ứng với nó sẽ là các điều kiện liên quan: y'=0 có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hoặc vô nghiệm, kết hợp với 2 trường hợp a>0 hoặc a<0. Việc nhớ dạng tổng quát của đồ thị hàm số sẽ giúp ta làm một số bài toán như sau:

1. Dạng toán về tính đơn điệu của hàm số

a. Bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên R

Nhìn vào hình vẽ ta thấy hình số 1 và 2 không đồng biến, nghịch biến trên R được, còn hình số 3 và 4 thì hiến nhiên sẽ đồng biến và nghịch biến trên R. Lúc này các bạn để ý sẽ thấy điều kiện thỏa mãn (hay điều kiện để biện luận cho bài toán) là phương trình y' =0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Nếu bài toán hỏi đồng biến thì thêm a>0 (hình số 3), nếu hỏi nghịch biến thì thêm a<0 (hình số 4). Tức là để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R thì chỉ sảy ra trường hợp ở hình 3 và 4.

b. Bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng bất kì

Với bài toán có yêu cầu như trên thì ta thấy 4 trường hợp trên đều có thể sảy ra. Hai hình số 1 và 2 hiển nhiên sẽ có các khoảng đồng biến và nghịch biến. Hai hình số 3 và 4 thì luôn đồng biến, nghịch biến trên R nên chắc chắn sẽ đồng biến, nghịch biến trên một khoảng bất kì nào đó. Vì các khoảng này đều là tập con của tập R mà.

Như vậy nếu gặp bài toán có đề bài như trên thì chúng ta sẽ biện luận theo 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt

Trường hợp 2: Phương trình y'=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Tùy theo bài toán hỏi đồng biến hay nghịch biến thì ta có thêm điều kiện của hệ số a nữa là xong rồi.

Xem đầy đủ: Chuyên đề tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến

2. Dạng toán về cực trị của hàm số

Nhìn vào dạng đồ thị của hàm số trong 4 trường hợp ta thấy nếu bài toán có hỏi về tìm cực trị thì chỉ có thể sảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu). Điều này chỉ sảy ra ở hình số 1 và hình số 2. Với yêu cầu của bài toán như vậy thì các bạn chỉ cần biện luận: phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt, kết hợp với hệ số a\neq0

Trường hợp 2: Hàm số không có cực trị. Điều này chỉ có thể sảy ra ở hình số 3 và hình số 4. Trong trường hợp này các bạn chỉ việc biện luận: phương trình y'=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Qua hình vẽ về các dạng đồ thị ở trên ta thấy sẽ không có câu hỏi nào mà nội dung là: tìm m để hàm số bậc 3 có một cực trị?

Như vậy việc dựa vào dạng đồ thị của hàm bậc 3 trong trường hợp tổng quát ta có được rất nhiều kinh nghệm, tư duy trong việc phân tích bài toán. Nếu để nhớ một cách máy móc những điều kiện ở trên thì sẽ rất nhanh chóng bị lãng quên lúc nào mà không hay biết. Còn việc chúng ta nhớ được dạng đồ thị của hàm bậc 3 ở trên thì lại quá đơn giản phải không?

Đó là 2 mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 để sử dụng cho bài toán tìm cực trị và tính biến thiên của hàm số. Ngoài việc áp dụng đồ thị dạng tổng quát, thầy sẽ gửi tới chúng ta một thêm một kỹ năng nữa trong việc pjaan tích bài toán và đọc hiểu đồ thị hàm bậc 3.

Xem đầy đủ: Chuyên đề cực trị hàm số

3. Dạng toán về sự tương giao của hai đồ thị

a. Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

HAM SO CAT OX TAI 3 DIEM PHAN BIET

Trên hình vẽ ta có hai trường hợp đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Trong hai trường hợp này ta thấy chúng đều có 1 điểm chung là: hai điểm cực trị đều nằm về hai phía so với trục Ox.

Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy y_{(cd)}>0 và y_{(ct)}<0 \Rightarrow y_{(cd)}.y_{(ct)} <0. Do đó điều kiện để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là: Điều kiện để hàm số có 2 cực trị và y_{(cd)}.y_{(ct)} <0

b. Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

HAM SO CAT OX TAI 2 DIEM PHAN BIET

Trên hình vẽ ta có hai trường hợp đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Trong hai trường hợp này ta thấy chúng đều có 1 điểm chung là: một trong hai điểm cực trị thuộc trục Ox. Khi đó y_{(cd)}=0 hoặc y_{(ct)}=0 \Rightarrow y_{(cd)}.y_{(ct)} =0.

Do đó điều kiện để hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt là: Điều kiện để hàm số có 2 cực trị và y_{(cd)}.y_{(ct)} =0

c. Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm

Với yêu cầu này của bài toán thì ta có 2 trường hợp sảy ra:

Trường hợp 1: Hàm số có 2 cực trị và 2 cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục Ox

HAM SO CAT OX TAI 1 DIEM

Trên hình vẽ ta có hai trường hợp đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm . Trong hai trường hợp này ta thấy chúng đều có 1 điểm chung là: hai điểm cực trị cùng nằm về 1 phía so với trục Ox. Khi đó y_{(cd)}>0 và y_{(ct)}>0 hoặc y_{(cd)}<0 và y_{(ct)}<0 \Rightarrow y_{(cd)}.y_{(ct)} >0.

Do đó điều kiện để hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm trong trường hợp này là: Điều kiện để hàm số có 2 cực trị và y_{(cd)}.y_{(ct)} >0

Trường hợp 2: Hàm số không có cực trị (tức là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên R)

HAM SO CAT OX TAI 1 DIEM 2

Trong trường hợp này các bạn chỉ việc biện luận phương trình y'=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Việc tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thì bên trên thầy đã có một mẹo để nhớ rồi, còn việc tìm y_{(cd)} và y_{(ct)} thì các bạn nên thay vào phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Trên đây là một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 hay có thể gọi là kỹ năng phân tích đồ thị mà chúng ta có được. Hy vọng với chút ít kinh nghiệm nhưng sẽ giúp các bạn được nhiều trong giải toán. Nếu các bạn có thêm những cách hay nữa thì hãy chia sẻ cho tất cả mọi người cùng tham khảo nhé.

 

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

16 Thảo luận

  1. Sang says:

    Rất hữu ích, cảm ơn thầy

  2. Nhớ says:

    rất tuyệt ạ, em cảm ơn thầy nhiều

  3. ý says:

    thầy ơi,tại sao có nghiệm kép thì đt k có cực trị thầy?

  4. Hiệp says:

    Thầy ơi dạng chứng minh pt b3 luôn có 1 nghiệm dương thì làm thế nào ạ?

  5. Trâm says:

    Thầy ơi, bài toán trắc nghiệm của em có câu hỏi là hàm số đồng biến trên R có đồ thị chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất là đúng hay sai ạ?

  6. Nguyễn Kiều My says:

    em thực sự cảm thấy quá may mắn khi đọc được bài này, từ qua tới nay em gần như cùng quẫn với tương giao đây thầy :'( em cảm ơn thầy nhiều lắm ạ!

    • Hạnh phúc của thầy là giúp đc gì đó cho thế hệ học trò. Hãy share mạnh tay để cùng blog thaygiaongheo thực hiện mục đích lý tưởng: Cho đi là nhận

  7. Đích Đến says:

    Xin cảm ơn thầy .

  8. yến nhi says:

    em cảm ơn thầy ạ !!!!!!rất hay ạ

  9. quynh says:

    thầy ơi yct và y cđ đều phải tính ra ạ?

  10. Lò văn Hồng says:

    Em cảm ơn thầy.
    Kiến thức của thầy rất bổ ích.

  11. Vinh says:

    4X^3 - 3X + a =0 tìm a để pt có 3 nghiệm Pb.
    Ycd.Yct <0 là tih sao thầy. Thầy giải jup e bai nay voi ạ.e cam on thầy

    • Em có thể vẽ đồ thị hàm số y=4x^3-3x
      dựa vào đồ thị trên tìm giáo điểm của đường thẳng y=-1 với đồ thị, cắt nhau tại 3 điểm khi nào.
      - còn y_cd.y_ct<0 tức là 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục ox. khi đó đồ thị hàm số y=4X^3 - 3X + a cắt trục ox tại 3 điểm => có 3 nghiệm

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *