Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian

Để đáp ứng nhu cầu học tập của các bạn hôm nay thầy tiếp tục gửi tới các bạn nội dung kiến thức về đường thẳng trong không gian. Về hình học giải tích trong không gian có hai khái niệm là mặt phẳng và đường thẳng, thì chuyên đề về mặt phẳng nay tạm gọi là hoàn thành, các bạn có thể xem tại đây nhé.

Bài đầu tiên gửi tới các bạn là: "Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian", trong bài giảng này thầy sẽ trình bày về các dạng phương trình đường thẳng và cách viết từng dạng phương trình đường thẳng. Dưới đây sẽ là nội dung của bài giảng hôm nay.

Lý thuyết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

1. Phương trình tổng quát

Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng:

\left \{\begin{array}{ll}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 =0\\A_2x + B_2y + C_2z + D_2 =0 \end{array}\right.

Trong đó A_1^2 + B_1^2 +C_1^2 >0; A_2^2 + B_2^2 +C_2^2 >0; A_1:B_1:C_1 \neq A_2:B_2:C_2

2. Phương trình tham số

Đường thẳng d đi qua điểm M_0(x_0;y_0;z_0) nhận \vec{a}(a_1;a_2;a_3) làm véctơ chỉ phương có phương trình tham số là:

\left \{\begin{array}{lll}x=x_0 + a_1t\\y=y_0 + a_2t\\z=z_0 + a_3t\end{array} \right. t\in R

3. Phương trình chính tắc

Đường thẳng d đi qua điểm M_0(x_0;y_0;z_0) nhận \vec{a}(a_1;a_2;a_3) làm véctơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:

\dfrac{x-x_0}{a_1} = \dfrac{y-y_0}{a_2} = \dfrac{z-z_0}{a_3}

Bài giảng nên xem: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng chính tắc

Chú ý:

1. Để viết phương trình tham số hay phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác định 1 điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng và một véctơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Để có được phương trình tổng quát của đường thẳng thì ta sẽ chuyển từ phương trình chính tắc hoặc phương trình tham số.

3. Một đường thẳng có nhiều véctơ chỉ phương.

4. Một đường thẳng có nhiều phương trình tổng quát, phương trình tham số hay phương trình chính tắc khắc nhau. Nó phụ thuộc vào việc chúng ta chọn điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng và việc chọn ra một véctơ chỉ phương của đường thẳng.

Đó là những lý thuyết cơ bản của đường thẳng trong không gian. Sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn một ví dụ vận dụng cho nội dung lý thuyết ở trên.

Có thể bạn quan tâm: Chuyên đề thể tích khối đa diện

 

Bài tập: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;-1;0)B(0;1;2)

  1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB
  2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB
  3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

Hướng dẫn giải:

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

a. Phân tích bài toán

- Chọn A hoặc B là điểm đã biết.

- Chọn \vec{AB} hoặc \vec{BA} làm VTCP

b. Trình bày lời giải

Ta có: \vec{AB} = (-1;2;2)

Đường thẳng đi qua A(1;-1;0) nhận \vec{AB}(-1;2;2) làm VTCP nên phương trình tham số là:

\left \{\begin{array}{lll}x=1 + (-1)t\\y=-1 + 2t\\z=0 + 2t\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{lll}x=1 - t\\y=-1 + 2t\\z=2t\end{array}\right. t\in R           (I)

Chú ý: Nếu chọn điểm đã biết là B(0;1;2)\vec{AB}(-1;2;2) làm VTCP thì phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\left \{\begin{array}{lll}x=- t\\y=1 + 2t\\z=2 + 2t\end{array} \right. t\in R       (II)

Như thế, ta có nhiều cách chọn 1 điểm và 1 VTCP của một đường thẳng. Do đó một đường thẳng có thể có nhiều phương trình tham số khác nhau.

2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB

Rút t theo x; y; z ở trong phương trình tham số (I) ta sẽ được phương trình chính tắc.

Từ (I) ta có:

\left \{\begin{array}{lll}x=1 - t\\y=-1 + 2t\\z=2t \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}t= \dfrac{x-1}{-1}\\t=\dfrac{y+1}{2}\\t= \dfrac{z}{2}\end{array} \right. t\in R \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{-1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{2}     (III)

Chú ý: Nếu rút t từ (II) thì ta có \dfrac{x}{-1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z-2}{2} cũng là một phương trình tham số khác của đường thẳng AB.

3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

Để viết được phương trình tổng quát của đường thẳng ta có 1 số cách làm, nhưng ở đây thầy sẽ hướng dẫn chúng ta chuyển từ phương trình chính tắc. Đây là cách làm dễ hơn cả và chúng ta nên sử dụng.

Từ phương trình chính tắc (III) ta sẽ có được phương trình tổng quát:

 \dfrac{x-1}{-1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{2}\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}\dfrac{x-1}{-1} = \dfrac{y+1}{2}\\\dfrac{x-1}{-1} = \dfrac{z}{2} \end{array}\right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}2x + y - 1 = 0\\2x + z -2 = 0 \end{array}\right.

Cũng như phương trình tham số hay phương trình chính tắc, ta cũng có thể tìm được nhiều phương trình tổng quát của đường thẳng.

4. Lời kết

Đó là toàn bộ lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian mà chúng ta cần nắm được. Bài viết này có thể chưa đầy đủ hết những kiến thức về đường thẳng, thầy sẽ tiếp tục bổ xung vào bài tập trong những bài giảng sau.

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

3 Thảo luận

  1. Huỳnh Nhi says:

    dạ thầy ơi cho con hỏi, ở phần số 3 mình viết ít nhất là mấy phương trình tổng quát sau khi chuyển từ dạng phương trình chính tắc về vậy thầy?

    • Bài toán yêu cầu viết phương trình tổng quát thì em chỉ cần tìm được 1 phương trình là xong rồi. Còn từ 1 phương trình chính tắc cụ thể em có thể có 3 phương trình dạng tổng quát nhờ việc kết hợp các đẳng thức lại với nhau.

       

  2. nguyenxuanhung says:

    Thầy à, cho em hỏi: em có phương trình đường thẳng (d) có dạng: (x-1)/1=(y-1)/1=(z-1)/1.
    Em muốn có phương trình đường thẳng song song với (d) và đi qua M(x0, y0,z0) thì nó có dạng
    (x-x0)/1=(y-y0)/1=(z-z0)/1 phải không ạ.
    Em muốn vẽ đường thẳng này thì vẽ như thế nào à?
    Em cảm ơn!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *