Lập phương trình mặt phẳng trong đề thi đại học

Chuyên đề lập phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cuối cùng cũng hoàn thành với 3 bài giảng gửi tới các bạn. Đây là 3 dạng toán có thể nói là hay được sử dụng trong các đề thi đại học, cao đẳng. Bài giảng hôm nay thầy gửi tới các bạn là những bài toán " Lập phương trình mặt phẳng trong đề thi đại học ", các ví dụ minh họa sẽ lấy trong một số đề thi đại học. Khi xem xong bài giảng này mọi người sẽ thấy các đề thi đại học cũng không khó lắm.

Để hiểu rõ nội dung lý thuyết thì các bạn có thể đọc bài 4 dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian phải dùng để biết được lý thuyết cụ thể là như thế nào và cách áp dụng ra sao.

Hai bài giảng trong chuyên đề này mà các bạn có thể xem thêm là:

1. Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

2. Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm

Sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn hai bài toán trong đề thi đại học năm 2002 và năm 2005.

Bài tập 1 (Đề thi ĐH khối A - 2002): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:d_1: \left \{\begin{array}{ll}x-2y+z-4=0\\x+2y-2z+4=0 \end{array}\right.;d_2: \left \{\begin{array}{lll}x=1+t\\y=2+t\\z=1+2t \end{array}\right.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d_1 và song song với d_2.

Hướng dẫn giải:

a. Phân tích bài toán

- Các bạn xác định xem hai đường thẳng d_1d_2 cắt nhau hay song song với nhau?

- Nếu chúng cắt nhau, mà (P) lại chứa d_1 và song song với d_2 => (P) ?

- Nếu chúng song song, mà (P) lại chứa d_1 và song song với d_2 => (P) ?

- Nếu chúng chéo nhau, mà (P) lại chứa d_1 và song song với d_2 => (P) ?

b. Trình bày lời giải

Đường thẳng d_2 có VTCP là: \vec{u_2}(1;1;2)

Đường thẳng d_1 có VTCP là:\vec{u_1}=\left (\left | \begin{array}{cc}-2 & 1\\2 & -2\end{array} \right |;\left | \begin{array}{cc}1& 1\\-2 & 1\end{array} \right |;\left | \begin{array}{cc}1 & -2\\1 & 2\end{array}\right |\right ) =(2;3;4).

Ta thấy \vec{u_1} và \vec{u_2} không cùng phương. Vậy hai đường thẳng d_1d_2 không song song.

phuong trinh mat phang co ban

Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d_1 và song song với đường thẳng d_2, nên nhận các vectơ \vec{u_1}; \vec{u_2} làm cặp VTCP, do đó nó có VTPT là \vec{n}:

\vec{n}=[\vec{u_1},\vec{u_2}] = \left (\left | \begin{array}{cc}3 & 4\\1 & 2 \end{array} \right |;\left |\begin{array}{cc}4 & 2\\2 & 1 \end{array} \right |;\left | \begin{array}{cc}2 & 3\\1 & 1 \end{array} \right | \right )= (2;0;-1).

Ta lấy 1 điểm M thuộc đường thẳng d_1 như sau:

Trong hệ phương trình xác định đường thẳng d_1 cho z=0 ta sẽ có:

\left \{\begin{array}{ll}x-2y-4=0\\x+2y+4=0 \end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x=0\\y=-2 \end{array}\right.

Vậy M(0;-2;0) \in d_1

Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d_1, điểm M \in d_1, nên M \in (P).

Như vậy mặt phẳng (P) chứa điểm M(0;-2;0) và có VTPT là \vec{n}(2;0;-1) sẽ có phương trình là:

2(x-0) + 0(y+2) -1(z-0)=0 \Leftrightarrow 2x-z=0

Xem thêm: Chuyên đề phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

Bài tập 2 (Đề thi ĐH khối D - 2005):Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳngd_1: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z+1}{2} và d_2: \left \{\begin{array}{ll}x+y-z-2=0\\x+3y-12=0\end{array}\right.

  1. Chứng minh rằng d_1 // d_2
  2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả d_1d_2

Hướng dẫn giải:

1. Các bạn tự làm nhé, rất dễ rồi.

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả d_1d_2.

a. Phân tích bài toán

- Lấy 1 điểm bất kỳ thuộc d_1 hoặc d_2 => nó có thuộc (P) hay không?

- Ở ý (a) ta biết d_1 // d_2. Mà (P) chứa cả d_1d_2 => Xác định VTPT của (P) như thế nào?

b. Trình bày lời giải

Theo ý (a) thì hai đường thẳng d_1d_2 song song với nhau do hai VTCP của chúng bằng nhau. Vì vậy ta không thể lấy hai VTCP này làm cặp VTPT của mặt phẳng (P) được. Chúng ta chỉ có thể lấy chúng làm cặp VTCP cho mặt phẳng (P) khi hai đường thẳng d_1d_2 không song song. Vậy chúng ta sẽ giải bài toán này như sau:

Lấy 1 điểm M thuộc đường thẳng d_1 và 1 điểm N thuộc đường thẳng d_2. Khi đó ta sẽ xác định được véctơ \vec{MN}

Mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d_1d_2 nên nó sẽ nhận VTCP \vec{u_1}(3;-1;2) của đường thẳng d_1 và véctơ \vec{MN}  làm cặp VTCP. (Do \vec{MN}\vec{u_1} không cùng phương). Đây là cách xác định VTPT \vec{n} của mặt phẳng.

Vậy: Mặt phẳng (P) sẽ chứa điểm M và nhận \vec{n} làm VTPT

Dựa vào phương trình đường thẳng d_1 ta thấy ngay điểm M(1;-2;-1) \in d_1

Dựa vào phương trình đường thẳng d_2 ta sẽ có:

Cho y=0 ta có hệ:\left \{\begin{array}{ll}x-z-2=0\\x-12=0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}x=12\\z=10 \end{array}\right.

Vậy N(12;0;10) \in d_2

Ta có \vec{MN}=(11;2;11)

Gọi \vec{n} là VTPT của mặt phẳng (P) nên ta sẽ có:

\vec{n} =[\vec{MN}, \vec{u_1}] = \left (\left | \begin{array}{ll}2 & 11\\-1 & 2 \end{array} \right |;\left | \begin{array}{ll}11 & 11\\2 & 3 \end{array} \right |;\left | \begin{array}{ll}11 & 2\\3 & -1 \end{array} \right | \right ) = (15;11;-17)

Mặt phẳng (P) đi qua M(1;-2;-1) nhận \vec{n}(15;11;-17) làm VTPT có phương trình là:

15(x-1) + 11(y+2) -17(z+1) =0 \Leftrightarrow 15x+11y-17z-10=0

Bài giảng chỉ với hai bài toán trong đề thi đại học nhưng cũng đủ để các bạn hiểu rõ phương pháp làm và nhận thấy rằng đề thi đại học không thách đố chúng ta. Đây là cách làm cơ bản mà học sinh thường áp dụng. Tức là chúng ta chỉ cần áp dụng những kiến thức cơ bản nhất của phương trình mặt phẳng là có thể giải được dạng toán này rồi. Chúc các bạn có một bài học hay và bổ ích.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

3 Thảo luận

  1. Nhi says:

    thầy ơi, BT1 sao ta biết được đt d có VTCP là như vậy? thầy có thể giải thích giúp em không ạ.

  2. Nhi says:

    Thầy bài tập 1 tại sao đường thẳng d có vtcp là như vậy.

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.