Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm

Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm là một dạng bài tập cũng thường có mặt trong các đề thi đại học, cao đẳng. Đây là dạng bài tập thứ hai thầy gửi tới chúng ta trong chuyên đề về viết phương trình mặt phẳng. Các bạn có thể xem thêm bài giảng trong cùng chuyên đề này:

Bài giảng hay cùng chuyên đề:

1. Lý thuyết phương trình mặt phẳng trong không gian

2 Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Trước khi gửi tới chúng ta dạng bài tập thì thầy sẽ trình bày với các bạn lý thuyết và phương pháp làm bài tập dạng này.

1. Lý thuyết phương trình chùm mặt phẳng

- Giả sử cho hai mặt phẳng (P)(Q) cắt nhau:

(P): A_1x + B_1y +C_1z + D_1=0

(Q): A_2x + B_2y +C_2z + D_2=0

Khi đó mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P)(Q) sẽ có dạng:

m(A_1x + B_1y +C_1z + D_1) + n(A_2x + B_2y +C_2z + D_2)=0      (1)  với m^2+n^2>0

(1) gọi là phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P)(Q)

phuong trinh chum mat phang

 

2. Khi nào ta có thể lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm?

Cho đường thẳng d viết dưới dạng: d: \left \{\begin{array}{ll}A_1x + B_1y +C_1z + D_1=0\\A_2x + B_2y +C_2z + D_2=0 \end{array}\right.

Bài toán đòi hỏi viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và có một số tính chất nào đó. Những tính chất (điều kiện đó) có thể sẽ là:

  • Mặt phẳng của chùm đi qua 1 điểm cho sẵn.
  • Mặt phẳng của chùm chứa 1 đường thẳng \Delta cho sẵn.
  • Mặt phẳng của chùm song song với 1 đường thẳng (hoặc 1 mặt phẳng) cho sẵn.
  • Mặt phẳng của chùm vuông góc với 1 đường thẳng (hoặc 1 mặt phẳng ) cho sẵn.

3. Cách giải bài toán trên được tiến hành ra sao?

Bước 1: Mọi mặt phẳng chứa đường thẳng d đều có dạng (1)

Bước 2: Dựa vào 1 điều kiện khác của bài toán cho sẽ thiết lập thêm được 1 phương trình nào đó liên hệ giữa mn.

Bước 3: Chú ý rằng m, n không đồng thời bẳng 0, nên sẽ xác định được m, n (bằng cách cho m, n những giá trị thích hợp)

Đó là những nội dung về lý thuyết và phương pháp làm bài tập cho việc sử dụng phương trình chùm mặt phẳng. Ngay dưới đây thầy sẽ gửi tới các bạn một số ví dụ trong đề thi đại học các năm trước, có thể áp dụng với dạng toán này.

4. Các bài tập vận dụng

Bài tập 1 (Đề thi ĐH khối A - 2002): Trong không gian cho hai đường thẳng:d_1: \left \{\begin{array}{ll}x-2y+z-4=0\\x+2y-2z+4=0 \end{array}\right.d_2: \left \{\begin{array}{lll}x=1+t\\y=2+t\\z=1+2t \end{array}\right.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d_1 và song song với d_2.

Hướng dẫn giải

a. Phân tích bài toán

- Mặt phẳng (P) chứa d_1 => có dạng chùm ?

- Mặt phẳng (P) song song với d_2 => VTPT của (P) và VTCP của d_2 liên quan như thế nào?

b. Trình bày lời giải

(P) chứa d_1 nên (P) thuộc chùm mặt phẳng :

m(x-2y+z-4) + n(x+2y-2z+4)=0

\Leftrightarrow (m+n)x + (-2m+2n)y + (m-2n)z -4m + 4n =0    (1) với m^2+n^2>0

Khi đó mặt phẳng (P) có VTPT là: \vec{n}=(m+n; -2m+2n; m-2n)    (2)

Do (P)// d_2 . Vì vậy mà VTCP \vec{u_2}=(1;1;2) của d_2 phải vuông góc với VTPT \vec{n} của (P). Ta sẽ có:

\vec{u_2} \bot \vec{n} \Leftrightarrow \vec{u_2}.\vec{n}=0 \Leftrightarrow m+n-2m+2n+2(m-2n)=0 \Leftrightarrow m=n

Do m^2+n^2 >0 nên ta chọn: n=1 \Rightarrow m=1.

Thay lại vào (1) ta có: 2x-z=0. Đó chính là phương trình mặt phẳng của (P)

 

Bài tập 2 (Đề thi ĐH khối D - 2005):Trong không gian cho hai đường thẳng

d_1: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z+1}{2} và d_2: \left \{\begin{array}{ll}x+y-z-2=0\\x+3y-12=0 \end{array}\right.

  1. Chứng minh rằng d_1 // d_2
  2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả d_1d_2

Hướng dẫn giải

1. Chứng mình d_1 // d_2. Ý này thì các bạn tự làm nhé. Các bạn chỉ việc tìm VTCP của hai đường thẳng và xem chúng có tỷ lệ với nhau hay không?

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả d_1d_2

a. Phân tích bài toán

- Mặt phẳng (P) chứa d_2 => có dạng chùm ?

- Mặt phẳng (P) chứa d_1 => Lấy 1 điểm thuộc d_1 => có thuộc (P) hay không? => Lời giải?

b. Trình bày lời giải

(P) chứa d_2 nên (P) thuộc chùm mặt phẳng:

m(x+y-z-2)+n(x+3y-12)=0  (1)  với m^2+n^2 >0

d_1 \in (P) nên mọi điểm thuộc đường thẳng d_1 đều thuộc mặt phẳng (P).

Ta lấy M(1;-2;-1) \in d_1 khi đó M \in (P). Vì M \in (P) nên tọa độ điểm M thỏa mãn (1).

Ta có: -2m-17n =0   (2)

Từ (2) và do m^2+n^2>0 nên ta chọn n=-2; m=17.

Thay lại vào (1) ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 15x + 11y -17z -10 =0

Chú ý:

Lời giải trên thầy sử dụng mặt phẳng (P) chứa d_2 => có dạng chùm. Câu hỏi đặt ra ở bước này là tại sao lại sử dụng đường thẳng d_2 mà không sử dụng d_1? và ta có thể sử dụng đường thẳng d_1 được không?

Trả lời các bạn rằng: Ta sử dụng d_2d_2 đang ở dạng phương trình tổng quát => phù hợp cho dạng chùm. Bạn hoàn toàn có thể sử dụng d_1 ở bước này được nhưng phải chuyển d_1 từ dạng phương trình tham số về dạng phương trình tổng quát tổng quát.

 

Bài tập 3: Cho điểm A(-1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: \left \{\begin{array}{ll}2x-y-1=0\\z-1=0 \end{array}\right. và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

Hướng dẫn giải

a. Phân tích bài toán

- Mặt phẳng (P) chứa d => (P) thuộc chùm ?

- Khoảng cách từ A đến (P) bằng 3 => Biểu thức về khoảng cách ? => Lời giải ?

Nếu bạn chưa biết tính khoảng cách thì nên xem bài giảng: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

b. Trình bày lời giải

Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên thuộc chùm mặt phẳng:

m(2x-y-1)+n(z-1)=0 \Leftrightarrow 2mx-my+nz-m-n=0    (1) với m^2+n^2>0

Vì khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng 3 tức là: d_{(A,(P)}=3. Nên ta có:

\dfrac{|-2m-2m+3n-m-n|}{\sqrt{4m^2+m^2+n^2}}=3 \Leftrightarrow \dfrac{|-5m+2n|}{\sqrt{5m^2+n^2}}=3

\Leftrightarrow |-5m+2n|=3\sqrt{5m^2+n^2}\Leftrightarrow 25m^2-20mn+4n^2=9(5m^2+n^2)

\Leftrightarrow 4m^2+4mn+n^2=0 \Leftrightarrow (2m+n)^2=0 \Leftrightarrow 2m+n=0            (2)

m^2+n^2 >0 nên từ (2) ta chọn m=1; n=-2

Thay m=1; n=-2 vào (1) ta được  (P) là: 2x-y-2z+1=0

4. Lời kết

Vậy là dạng toán thứ hai "Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm" thầy đã trình bày xong với các bạn. Bài toán dạng này thì rất nhiều, tuy nhiên các bạn hãy xem kĩ lý thuyết và phương pháp ở bên trên để biết được khi nào thì áp dụng được chúng. Các bạn hãy trao đổi nếu cần trong hộp bình luận phía dưới nhé.

Bài tập về nhà:

Bài tập 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng:
d: \left \{\begin{array}{ll}2x-y+3z-5=0\\ x+2y-z=0 \end{array}\right. và vuông góc với mặt phẳng (Q): x-2y+2z-10=0

Xem video bài giảng:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

3 Thảo luận

  1. Lê Thị Ngoan says:

    Hay lắm thầy ạ!

  2. Thầy cho em hỏi tập hợp phương trình mặt phẳng qua đường thẳng (dạng tham số) cho trước có dạng thế nào ạ

    • 2 mặt phẳng bất kì nếu cắt nhau thì sẽ có 1 giao tuyến là 1 đường thẳng. Do đó để biết đc thì em phải chuyển pt đường thẳng về dạng tổng quát (tức là giao của 2 mặt phẳng)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *