Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

Để lập phương trình mặt cầu chúng ta cần xác định được tâm và bán kính của mặt cầu. Vậy khi bài toán yêu cầu lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thì chúng ta cần phải xác định được yếu tố nào? Đó có phải là điều kiện tiếp xúc trong bài toán không? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu.

Phương trình mặt cầu

a. Phương trình mặt cầu tâm I(x_0;y_0;z_0), bán kính R là: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2

b. x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a^2+b^2+c^2 > d. Khi đó mặt cầu có tâm là I(-a;-b;-c) và bán kính là R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}

Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

Phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

Khi nói tới dạng toán mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chúng ta thường nghĩ ngay tới mối liên hệ giữa bán kính mặt cầu và khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng. Hai đại lượng này có mối liên hệ mật thiết với nhau và là yếu tố chính để làm bài tập dạng này. Ngược lại mối liên hệ giữa bán kính và khoảng cách lại là một yếu tố quan trọng để chứng minh mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng. Chúng ta cùng tìm hiểu hai bài tập sau:

Bài tâp 1:

Cho tứ diện ABCD có: A(1;0;3), B(0;-2;-1), C(4;-1;-2), D(-1;-1;-3). Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

Hướng dẫn:

Với bài toán này các bạn đã biết tọa độ tâm của mặt cầu và chúng ta phải đi tìm bán kính. Việc tìm bán kính các bạn có thể đi theo 2 hướng làm sau:

Hướng 1: Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) theo phương pháp tọa độ. Như vậy các bạn cần phải viết được phương trình mặt phẳng (BCD). Để làm theo hướng 1 các bạn tham khảo 2 bài giảng sau hoặc tham khảo cách làm ở bài 2:

  1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
  2. 4 dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian phải dùng

Hướng 2:  Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) dựa vào thể tích khối chóp. Tức là khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) chính là đường cao của hình chóp A.BCD.

Trong bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo hướng thứ 2. Hướng 1 các bạn làm theo hướng dẫn ở trên nhé.

Ta có:

\vec{BC}(4;1;-1)\vec{BD}(-1;1;-2)\vec{BA}(1;2;4)

\Rightarrow [\vec{BC},\vec{BD}]=(-1;9;5)

\Rightarrow [\vec{BC},\vec{BD}].\vec{BA}=-1+18+20=37

Diện tích tam giác BCD là: S=\dfrac{1}{2}|[\vec{BC},\vec{BD}]|=\dfrac{1}{2}.\sqrt{1+81+25}=\dfrac{\sqrt{107}}{2}

Thể tích của hình chóp ABCD là: V_{ABCD}=\dfrac{1}{6}[\vec{BC},\vec{BD}].\vec{BA}=\dfrac{1}{6}.37=\dfrac{37}{6}

Đường cao AH của hình chóp là:

AH=\dfrac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}}=\dfrac{3.\dfrac{37}{6}}{\dfrac{\sqrt{107}}{2}}=\dfrac{37}{\sqrt{107}}

\Rightarrow bán kính của mặt cầu là: R=\dfrac{37}{\sqrt{107}}

Vậy phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) là:

(x-1)^2+y^2+(z-3)^2=\dfrac{37^2}{107}

Bài tập 2: 

Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu có tâm ở trên trục Oz và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): 2x-2y+z-5=0(Q): 2x+3y-6z+8=0

Phân tích:

Gọi I(0;0;m) là tâm của mặt cầu thuộc trục Oz.

Tính khoảng cách d_1d_2 từ I tới (P) và (Q).

Cho d_1=d_2 ta sẽ tính được m, sau đó tính bán kính mặt cầu R=d_1 =d_2

Hướng dẫn:

Gọi I(0;0;m) là tâm của mặt cầu thuộc trục Oz.

Khoảng cách từ điểm I tới mặt phẳng (P) là:

d_1=\dfrac{|m-5|}{\sqrt{8}}

Khoảng cách từ điểm I tới mặt phẳng (Q) là:

d_2=\dfrac{|-6m+8|}{\sqrt{13}}

Vì mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:

d_1=d_2

\Leftrightarrow \dfrac{|m-5|}{\sqrt{8}}=\dfrac{|-6m+8|}{\sqrt{13}}

\Leftrightarrow m=\dfrac{59}{25} hoặc  m=-1

  • Với m=\dfrac{59}{25} ta có tọa độ của điểm I là: I(0;0;\dfrac{59}{25}) và bán kính R=\dfrac{22}{25}

Phương trình mặt cầu cần tìm là: x^2+y^2+(z-\dfrac{59}{25})^2=(\dfrac{22}{25})^2

  • Với m=-1 ta có tọa độ của điểm I là: I(0;0;-1) và bán kính R=4

Phương trình mặt cầu cần tìm là: x^2+y^2+(z+1)^2=4

Lời kết

Qua hai ví dụ các bạn thấy khi lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thì điều kiện tiếp xúc ở đây là yếu tố chính để chúng ta khai thác bài toán. Tuy nhiên cách vận dụng điều kiện tiếp xúc ở đây thông thường chúng ta hay áp dụng với cách làm ở bài tập 2 hoặc cách 1 trong bài tập 1. Còn việc sử dụng điều kiện tiếp xúc như cách 2 ở bài tập 1 thì ít bạn dùng tới hơn. Bạn nghĩ sao về nhận định này? hãy cho biết suy nghĩ của bạn trong phần thảo luận phía dưới nhé.

Bài tập tham khảo:

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x - 2y - 2z + 2 = 0 và hai điểm A(-3; 1; 3), B(1; 5; -2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm của AB và tiếp xúc với (P).

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) và mặt phẳng (P): 3x-y-z+1=0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc AB, bán kính bằng 2\sqrt{11} và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

1 Thảo luận

  1. Ví dụ 2 là Căn 49 á thầy, sai số

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.