Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các bạn tính giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng: \infty/ \infty. Đây là một trong những dạng giới hạn vô định thường gặp khi giải toán. Trong chuyên đề này thầy đã có một bài giảng tìm giới hạn dạng không trên không - 0/0 gửi tới các bạn thời gian trước. Bạn nào chưa xem thì có thể ghé qua để cổ vũ thầy. Nội dung của dạng giới hạn vô định hôm nay có nội dung như sau:

cách tính giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Cho hàm số y=\dfrac{f(x)}{g(x)} với \lim \limits_{x \to \infty}{f(x)}=\infty và \lim \limits_{x \to \infty}{g(x)}=\infty

Để tìm được giới hạn dạng này thì thầy chia làm 2 trường hợp như sau:

Trường hợp hàm số y=\dfrac{f(x)}{g(x)} là hàm hữu tỷ.

Ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất và áp dụng tính chất: \lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{1}{x^n}} =0 với n \in N^*. Hoặc các bạn cũng có thể làm bằng cách đặt nhân tử chung là ẩn có có lũy thừa bậc cao nhất.

Giả sử có hàm số y=\dfrac{2x^4+...}{4x^2+...} thì các bạn chia cả tử và mẫu cho x^4

Nếu có hàm số y=\dfrac{1+...+2x^3}{2-x^3+...} thì chia cả tử và mẫu cho x^3

Nếu có hàm số  y=\dfrac{1+...+2x^3}{4+x^6+...} thì chia cả tử và mẫu cho x^6

Trường hợp hàm số y=\dfrac{f(x)}{g(x)} là hàm vô tỷ (hàm chứa căn)

Với trường hợp này các bạn làm như sau:

Giả sử bậc của căn thức là m, bậc cao nhất của ẩn trong căn là n. Các bạn lấy thương của \dfrac{n}{m} và coi đây là bậc của căn thức đó. Sau đó các bạn hãy chia cả tử và mẫu của biểu thức cho lũy thừa cao nhất (giống trường hợp 1) hoặc thực hiện đặt nhân tử chung, sau đó đơn giản biểu thức.

Giả sử có biểu thức trên tử hoặc dưới mẫu là: \sqrt[3]{1-2x^2+x^3} thì các bạn biến đổi thành

  • \sqrt[3]{1-2x^2+x^3}=\sqrt[3]{x^3.(\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{2}{x}+1)}  (Đặt nhân tử chung là x^3)
  • Hoặc \sqrt[3]{1-2x^2+x^3}=\dfrac{\sqrt[3]{1-2x^2+x^3}}{x}=\sqrt[3]{\dfrac{1-2x^2+x^3}{x^3}}  (Chia cả tử và mẫu cho x). Vì x^{\frac{n}{m}}=x^{\frac{3}{3}}=x

Các bạn thấy nếu làm như vậy thì thật đơn giản phải không nào. Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng không có gì là phức tạp. Vậy nếu không có gì thắc mắc thêm thì chúng ta cùng đi nghiên cứu một vài bài tập áp dụng. Tuy nhiên các bạn có thể sẽ gặp phải sai lầm khi giải trường hợp 2 này đó. Để biết điều đó có thể sảy ra hay không, các bạn hãy theo dõi bài tập 2 nhé.

Có thể bạn quan tâm: Cách chia đa thức bằng lược đồ Hooner hay

Bài tập giới hạn dạng vô cùng trên vô cùng

Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a. \lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{3x^4+2x^2+1}{5x^3+3x+2}} \hspace{1.5cm} b. \lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{2x^3+2}{2x^3+3x^2}} \hspace{1.5cm} c. \lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{x+1}{3x^2+3x-9}}

Hướng dẫn giải:

a. Trường hợp này các bạn thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 4, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 3. Vậy Trong trường hợp này thầy sẽ sử dụng cách đặt nhân tử chung là x^4 trước rồi mới thực hiện phép chia.

\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{3x^4+2x^2+1}{5x^3+3x+2}}

=\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^4(3+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^4})}{x^4(\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{2}{x^4})}}

=\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{3+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{2}{x^4}}}

=\dfrac{3}{0}

=\infty

Ở đây các bạn để ý \lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{2}{x^2}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{1}{x^4}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{5}{x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{3}{x^3}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{2}{x^4}} =0

Từ các ví dụ sau thầy sẽ không giải thích cụ thể chỗ này nữa nhé.

b. Trường hợp này các bạn thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 3, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 3. Vậy ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc 3.

\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{2x^3+2}{2x^3+3x^2}}

=\lim \limits_{x \to \infty}{\dfrac{\dfrac{2x^3+2}{x^3}}{\dfrac{2x^3+3x^2}{x^3}}}

=\lim \limits_{x \to \infty}{\dfrac{2+\dfrac{2}{x^3}}{2+\dfrac{3}{x}}}

=\dfrac{2}{2} =1

Với cách làm ở ý (a) và ý (b) các bạn chọn cách nào cũng đc, bạn thấy cách nào trình bày dễ nhìn, dễ hiểu thơn thì làm nhé.

c. Trường hợp này các bạn thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 1, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 2. Vậy ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc 2.

\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{x+1}{3x^2+3x-9}}

=\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2})}{x^2(3+\dfrac{3}{x}-\dfrac{9}{x^2})}}

=\lim \limits_{x \to \infty} {\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{3+\dfrac{3}{x}-\dfrac{9}{x^2}}}

=\dfrac{0}{3}=0

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

a. \lim \limits_{x \to +\infty} {\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{3x+5}} \hspace{1.5cm} b. \lim \limits_{x \to \infty}{\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}

Hướng dẫn giải:

a.  Với ý (a) này các bạn thấy hàm số chứa căn bậc 2, biểu thức trong căn chứa lũy thừa bậc cao nhất là 2. Biểu thức ngoài căn chứa lũy thừa bậc cao nhất là 1. Vậy trong căn các bạn cần đặt nhân tử chung là x^2 (trùng với bậc của căn) để có thể khai căn được.

\lim \limits_{x \to +\infty} {\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{3x+5}}

=\lim \limits_{x \to +\infty} {\dfrac{\sqrt{x^2(1+\dfrac{1}{x^2})}+x}{x(3+\dfrac{5}{x})}}

=\lim \limits_{x \to +\infty} {\dfrac{x.\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+x}{x(3+\dfrac{5}{x})}}

=\lim \limits_{x \to +\infty} {\dfrac{x.(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+1)}{x(3+\dfrac{5}{x})}}

=\lim \limits_{x \to +\infty} {\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+1}{3+\dfrac{5}{x}}}

=\dfrac{1+1}{3} =\dfrac{2}{3}

Ở bước 3 các bạn thấy thầy khai căn \sqrt{x^2}=x được là vì sao không? Bởi vì  x \to +\infty \Rightarrow x>0 do đó ta có thể khai căn một cách dễ dàng.

Thầy đã nói trong bài 2 này có thể sẽ sảy ra sai lầm khi các bạn tìm giới hạn, ý (a) chưa thấy sai lầm nào cả, vậy chắc chắn điều mà thầy nhắc tới sẽ nằm trong ý (b) này rồi. Chúng ta cùng tìm hiểu tiếp.

b.  \lim \limits_{x \to \infty}{\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}

Chia cả tử và mẫu cho x ta có:\lim \limits_{x \to \infty}{\dfrac{\dfrac{x+3}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}}}=\lim \limits_{x \to \infty}{\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}}}

Giờ ta phải đưa x vào căn. Nhưng vì chưa biết ẩn x mang giá trị dương hay âm nên ta xét 2 trường hợp như sau:

TH1:

x \to +\infty \Rightarrow x>0 \Rightarrow x=\sqrt{x^2}

Ta có: \lim \limits_{x \to +\infty}{\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}}}=\lim \limits_{x \to +\infty}{\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}}}=\lim \limits_{x \to +\infty}{\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}}=\dfrac{1}{1}

TH2:

x \to -\infty \Rightarrow x<0 \Rightarrow x=-\sqrt{x^2}

Ta có: \lim \limits_{x \to -\infty}{\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}}}=\lim \limits_{x \to -\infty}{\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{-\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}}}=\lim \limits_{x \to -\infty}{\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}}=\dfrac{1}{-1}=-1

\lim \limits_{x \to +\infty}{\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}=1\lim \limits_{x \to -\infty}{\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}=-1 nên không tồn tại :\lim \limits_{x \to \infty}{\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}

Các bạn cần chú ý trong ý (b) của bài 2 này khi mà bài toán cho giới hạn x \to \infty, tức là chúng ta chưa biết rõ tiến tới -\infty hay +\infty. Khi đó các bạn cần xét hai trường hợp như trên. Nếu hai giới hạn tìm được có giá trị bằng nhau thì sẽ tồn tại giới hạn và giá trị của giới hạn hàm số chính bằng giá trị vừa tìm được đó. Ngược lại thì không tồn tại giới hạn. Đây có thể coi là sai lầm khi tìm giới hạn hàm số của mọi người.

Bạn có thể áp dụng cách giải dạng vô cùng trên vô cùng này bằng một cách giải khác, đó là sử dụng quy tắc L'Hopital. Nếu bạn quan tâm tới quy tắc L'Hopital thì xem bài giảng này tại link sau: Tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc L'Hopital

Bạn có muốn xem thêm bài giảng: Chuyên đề phương trình đường thẳng trong Oxy

Lời kết

Như vậy thầy đã phân tích và hướng dẫn các bạn cách tính giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng xong rồi. Hãy nghiên cứu kĩ cách làm của thầy trong 2 bài tập ở trên, các bạn sẽ thấy giới hạn hàm số dạng vô cực trên vô cực này không khó làm, chỉ cần cẩn thận biến đổi và rút gọn thôi. Hãy ủng hộ thầy cái LIKE nếu thấy bài viết hữu ích với bạn nhé.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

93 Thảo luận

  1. Nguyễn văn tuấn says:

    E tính được -1/0 thì kết quả là bao nhiêu ạ

  2. Nguyễn văn tuấn says:

    E cảm ơn thầy ạ.bài này cận của e là + vô cùng có đúng không ạ

  3. Nguyễn văn tuấn says:

    lim (-x^3+3x+3)/(2x^2-x+5)
    X tiến đến +vô cùng
    E cảm ơn thầy ạ

  4. Nguyễn văn tuấn says:

    e chia cả 2 vế cho x^3.e cảm ơn thầy ạ

  5. Trần Văn Lộc says:

    lim ((Căn 4x^2 + x + 1) -2x)

    X--> vô cực

    em không làm được bài này

    xin thầy giải giúp em

    −−−−−−√

    −−−−−−√

     

    −−−−−−√

  6. Hoàng Tấn says:

    Chào thầy, Thầy giùm chỉ em bài này với 
    lim (x^3 - 3x +2 )/ (x^4 -4x +3) 
    x ->> 0

  7. Quang says:

    Thầy ơi, dạng  vô cùng chia vô cùng ra gì ạ,

  8. Quang says:

    Dạ còn trừ vô cùng cộng hai ra hai mà hai cộng vô cùng lại ra vô cùng ạ

     

  9. hihi says:

    cho em hỏi dạng âm vô cùng cộng dương vô cùng thì bằng cái gì ạ

  10. hihi says:

    tính hộ e lim(2(√(b)+1)-4-2ln(√(b)+1)+2ln2

  11. hihi says:

    khi b tiến đến dương vô cùng

  12. hihi says:

    tính hộ em lim(2(√(b)+1)-2ln(√(b)+1)+2ln2-4) khi b tiến đến dương vô cùng

  13. Mai Chi says:

    Thầy ơi giải giúp e bài này với ạ
    Lim 1/ (1+e^(1/x)) khi x->0

  14. huy says:

    thầy xem giúp e dạng này mình giải ntn ạ.
    lim(x->0)sin(pi.x/2)/x

  15. khang says:

    thầy hướng dẫn giúp e vs e dùng liên hợp rồi rút gọn mà ko đc:lim x->+vô cùng(căn bậc 3 của x^3+3x^2 rồi trừ cho x

  16. Hà Tâm says:

    Thầy cho e cách tính của hàm này vs ạ:x->+vô cùng của (pi+arctanx)pi.e cảm ơn ạ??

  17. Hà Tâm says:

    Thầy cho e cách tính của hàm này vs ạ:x->+vô cùng của (pi-arctanx)pi.e cảm ơn ạ??

  18. Hà Tâm says:

    Dạ em nhầm ạ:(pi-2arctanx)x.khi x->+vô cùng ạ

    • Em đặt y=arctanx => x= tany
      Khi x-> + vô cùng thì y->pi\2
      thay vào ta có biểu thức mới là: (pi-2y)tany =(pi-2y)cot(pi/2-y) =1/2(pi/2-y)\dfrac{cos(\dfrac{\pi}{2}-y)}{sin(\dfrac{\pi}{2}-y)}
      Tới đây em biến đổi (pi/2-y) xuống mẫu để xuất hiện \dfrac{sin(\dfrac{\pi}{2}-y)}{\dfrac{\pi}{2}-y}
      Biểu thức khác tính bình thường
      Kết quả là: 1/2

  19. Hà Tâm says:

    E cảm ơn thầy nhiều ạ....

  20. Lê Thị Thu Anh says:

    Thầy bài này làm sao ak
    Lim (x->0+)xlnx

  21. Võ Hoàng Phúc says:

    thầy ơi..
    lim x --> +∞ của hs (-3x^2-x+2) / (2x^2 - x) là ra cái j` vậy thầy. Em tính ra -3/2 mà thầy của em lại giải ra 1/2...

  22. Ánh says:

    thầy ơi có dạng lim f(x)/g(x) khi x-->x0 mà limf(x), limg(x) bằng vô cùng khi x dần ra x0 không ạ

  23. Hoàng Như Phong says:

    thầy ơi, giới hạn vô cùng nhân vô cùng với vô cùng nhân vô cùng ra kq ntn ạ?

  24. mai lan says:

    thầy ơi giúp em câu này với ạ lim (e^x - x^2) khi x tiến tới dương vô cùng ạ

  25. Sơn says:

    Thầy mở thêm mấy bài đạo hàm của logarit với thầy ơi. Em thấy đạo hàm phần đó là khó nhất

  26. ny says:

    Lim (căn 3(1+x/3)-căn 4(1+x/4))/(1-căn 2(1-x/2))
    x->0

  27. says:

    Thầy ơi bài này tính như nào ạ
    Lim(1+x^2)^(cotx)^2 khi x dần tới 0

    • em đặt y=(1+x^2)^{(cotx)^2} => lny=(cotx)^2.(1+x^2)=cot^2x+x^2.cot^2x =cot^2x+\dfrac{cos^2x}{sin^2x.\dfrac{1}{x^2}}
      Tính giới hạn này được lim_{x \to 0}lny=1 => lim_{x \to 0}y=e

  28. đình hải says:

    Thây ơi làm giup e bài này
    lim (2arctanx trên pi) mũ x
    x->+vc

    • em đặt y=arctanx =>x=tany. khi tới tiến tới + vô cùng thì y -> +pi/2
      Ta có giới hạn: lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}(\dfrac{2y}{\pi})^{tany}
      đặt tiếp t=(\dfrac{2y}{\pi})^{tany} => lnt=tany.\dfrac{2y}{\pi}
      tới đây tính được rồi

  29. anhanhanhanhanh says:

    thầy ơi nếu lim x→ cộng trừ dương vô cùng thì xét 2 TH ạ

  30. Trang Bellatrix says:

    Thầy ơi câu lim (x->cộng trừ vô cùng) căn(x^2-3x+4) hướng làm ntn ạ?

  31. an says:

    Nhờ thầy giải giúp em bài này em đang rối. 1+√2x^2-x / 2-3x

  32. an says:

    -2x^2+3x+1/x-3
    lim tiến tới -vô cực

  33. Hoa says:

    Thầy ơi bài này thì làm thế nào ạ
    [(X+1)^100+(x+2)^100+....+(100+x)^100]$$x^100+10x^10+100)

  34. thanh hằng says:

    thầy giúp em câu này với . căn bậc 3 của 2x^3+7x^2
    x -> âm vô cực

  35. Đỗ Nhật Nam says:

    thấy ơi ví dụ như: (x^2 + 1)//(1-3x-5x^2) khi x tiến tới âm vô cùng ạ

  36. anh says:

    Thầy giúp em câu này với
    Lim ((1+2x)-(1+3x)) / x^2

  37. phuonganh says:

    Thầy giúp em câu này với
    Lim ((1+2x)-(1+3x)) / x^2

  38. nhatanh says:

    thầy ơi: cái bài 2b mà thầy chia làm 2 trường hợp á, đề đã cho là x tiến đến dương vô cùng rồi thì sao phải có trường hợp thứ 2 vậy thầy?

  39. Quang says:

    Thầy chỉ giúp em hướng làm bài này đi ạ.
    lm căn 1+4x nhâncăn bậc ba1+6 tất cả : x. x->o

  40. Quang says:

    1+6x em viết thiếu

  41. Nguyên says:

    X tiến đến 3 trừ vậy 3 trừ x sẽ là 0 cộng hay 0 trừ v thầy

  42. Khi x tiến tới 3- tức là x<3 =>x-3<0 hoặc 3-x>0

  43. Minh says:

    Em cảm ơn thầy ạ, bài viết hay lắm ạ.

  44. Hoàng Đức Minh says:

    Cho e hỏi cái câu này ạ
    Tính giới hạn lim (x2-2x+2)/(x-2)2
    X-2
    X2: x mũ 2
    (X-2)2: x-2 tất cả bình

  45. Hoangvietanh says:

    cho em hỏi bài này làm thế nào ạ
    căn[(6X^2)+3]/(X+1) khi X->-1

  46. Hoangvietanh says:

    thầy ơi e nhầm đề
    E xin lỗi...
    căn[(6X^2+3)+3X]/(X+1)khi X->-1

  47. trinh says:

    Thay oi, bai nay lam nhu the nao a
    Lim (sin(ln(x+1))-sin(lnx)) khi x tien toi duong vo cung
    Em cam on a

  48. Trần Thảo says:

    Con chào thầy ạ^^
    thưa thầy, cho con hỏi
    lim (1/x)((1/(x+1))-1) khi x tiến tới 0-
    Là bằng bao nhiêu vậy ạ?
    Con làm ra -1
    Cơ mà trong 4 đáp án ở bài kiểm tra không có -1 thầy ạ
    Con nghĩ chắc chắn con nhầm chỗ nào goy
    Vậy mà con làm mãi chẳng ra 🙁
    Con chào thầy ạ 🙂
    Chân thành cảm ơn thầy đã bớt chút thời gian quý báu đọc tin nhắn này^^

    • thầy cũng tính ra -1, chắc đáp án sai rồi.

      • Trần Thảo says:

        Con chào thầy^^
        Cảm ơn thầy đã trả lời câu hỏi không có "tầm cỡ" như vậy ạ :))
        Thế là tự dưng bọn con được 0.2đ thầy ạ.
        Con chúc thầy luôn nhiều sức khỏe

  49. khanh says:

    thầy ơi ! các dạng bài mà có số mũ là n, n+1 thì lam sao

  50. Phương says:

    em cảm ơn thầy

  51. asd says:

    cho e hỏi tại s lim 5/(6^n-1) =0 ạ

  52. quỳnh như says:

    cho em hỏi
    lim[(căn của 2x)+cosx]mũ[1/(căn của sinx)] khi x tiến tới 0
    cảm ơn thầy ạ

  53. Linh says:

    Thầy giải giúp e tính giới hạn của
    Tử: căn bậc 4 của (n^5+1) nhân căn bậc 3 của (n^2+3)
    Mẫu: căn bậc 5 của (n^4+1)+ căn bậc 3 của (n^4+3)
    Thank th nhiều.

  54. Luunikem says:

    Ui em kéo mãi mới có thể bình luận được.Chúc thầy mạnh khỏe, hạnh phúcl, em rất mong có nhiều tài liệu hơn từ thầy ạ hihi

  55. THU THAO says:

    thầy ơi jup e với mai e thi ak thầy
    lá số chia vô cùng bằng ji?
    vo cung chia so bang ji
    0 chia không bằng gì???
    thầy jup e với ạ.

  56. Kpes says:

    Giúp e bài limsin2π/a vs a->vô cùng.
    cam ơn thay nhieu.

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.