Giới hạn hàm số dạng không trên không - 0/0

Trong quá trình đi tìm giới hạn của hàm số chúng ta gặp rất nhiều dạng toán, mỗi dạng toán lại có những cách giải khác nhau. Trong bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn chúng ta đi tìm giới hạn hàm số dạng vô định mà cụ thể là giới hạn hàm số dạng không trên không - dạng \dfrac{0}{0}.

Dạng \dfrac{0}{0} là dạng như thế nào? Giả sử khi x\to a, các bạn thay giá trị x=a vào biểu thức trên tử và dưới mẫu. Khi đó tử thức và mẫu thức đều bằng 0, đó chính là dạng 0/0. Với dạng toán như này chúng ta không thể tính giới hạn một cách trực tiếp được mà phải biến đổi một chút.

Với dạng toán này thầy sẽ hướng dẫn các bạn 2 trường hợp cơ bản nhất, đó là:

Giới hạn hàm số dạng không trên không

Trường hợp hàm số y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}} là hàm hữu tỷ

Phương pháp giải cho trường hợp này là ta làm thế nào đó để xuất hiện nhân tử chung. Thông thường chúng ta sẽ phân tích các đa thức thành nhân tử sau đó triệt tiêu nhân tử để làm mất dạng vô định và đưa hàm số về dạng xác định.

Trong trường hợp này nếu x\to a thì ta biết chắc chắn nhân tử sẽ là x-a, do đó ta chỉ việc chia đa thức ở tử và mẫu cho nhân tử x-a là tìm được lời giải cho bài toán.

Ta có: Giới hạn hàm số y=\dfrac{f_{(x)}}{g_{(x)}} khi x \rightarrow a có dạng \dfrac{0}{0} thì ta sẽ phân tích như sau:

y=\dfrac{f_{(x)}}{g_{(x)}} = \dfrac{(x-a).p_{(x)}}{(x-a).q_{(x)}} =\dfrac{p_{(x)}}{q_{(x)}}

Chia đa thức f_{(x)}g_{(x)} cho nhân tử x-a thì được đa thức p_{(x)} và q_{(x)}

Lúc này giới hạn của hàm số ban đầu chính là giới hạn của hàm số \dfrac{p_{(x)}}{q_{(x)}}. Việc tính giới hạn này khá đơn giản vì nó là giới hạn xác định.

Bạn có muốn xem bài giảng: Phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp

Trường hợp hàm số y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}} là hàm vô tỷ

Với dạng này thông thường ta dùng biểu thức liên hợp để có thể làm xuất  hiện nhân tử chung.

Một số dạng có biểu thức liên hợp là:

\sqrt{a} - b có biểu thức liên hợp là \sqrt{a} + b và ngược lại

\sqrt{a} - \sqrt{b} có biểu thức liên hợp là \sqrt{a} + \sqrt{b} và ngược lại

\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} có biểu thức liên hợp là \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} và ngược lại

\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} có biểu thức liên hợp là \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} và ngược lại

\sqrt[3]{a} + b có biểu thức liên hợp là \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}.b+ b^2 và ngược lại

\sqrt[3]{a} - b có biểu thức liên hợp là \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}.b+ b^2 và ngược lại

Bài giảng nên xem: Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Bài tập giới hạn hàm số dạng không trên không - \frac{0}{0}

Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a. \lim \limits_{x\to 1} \dfrac{x^5-1}{x-1}

b. \lim \limits_{x\to -3} \dfrac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2-9}

Hướng dẫn giải

a. Khi x \to 1 thì hàm số thuộc dạng 0/0 (các bạn thay x=1 vào biểu thức trên tử và dưới mẫu). Đây lại là hàm số hữu tỉ do đó ta nghĩ ngay tới việc biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung là x-1. Ta có:

\lim \limits_{x\to 1} \dfrac{x^5-1}{x-1} = \lim \limits_{x\to 1} \dfrac{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}{x-1}

= \lim \limits_{x\to 1} (x^4+x^3+x^2+x+1)

= 1^4+1^3+1^2+1+1 = 5

Vậy \lim \limits_{x\to 1} \dfrac{x^5-1}{x-1}=5

 

b. Khi x \to -3 thì hàm số thuộc dạng \dfrac{0}{0}. Đây cũng là hàm số hữu tỉ do đó ta nghĩ ngay tới việc biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung là x+3. Ta có:

\lim \limits_{x\to -3} \dfrac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2-9} =\lim \limits_{x\to -3} \dfrac{(x+3)(x^2+2x-3)}{(x+3)(x-3)}

 =\lim \limits_{x\to -3} \dfrac{x^2+2x-3}{x-3}

 =\dfrac{9-6-3}{-6}

 =0

Vậy \lim \limits_{x\to -3} \dfrac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2-9}=0

Bài giảng hay về lượng giác: Hướng dẫn sử dụng đường tròn lượng giác - cách nhớ công thức, tính nghiệm

 

Bài 2: Tìm giới hạn của hàm số sau:

a. \lim \limits_{x\to a} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}

b. \lim \limits_{x\to 1} \dfrac{\sqrt{(3x-1)}-2}{\sqrt{x}-1}

Hướng dẫn giải

a. Các bạn thấy ý a này cũng thuộc giới hạn hàm số dạng 0/0 và hàm số có chứa căn thức. Ta sẽ nhân với biểu thức liên hợp của \sqrt{x}-\sqrt{a}\sqrt{x}+\sqrt{a}.

Ta có:

\lim \limits_{x\to a} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \lim \limits_{x\to a} \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})} = \lim \limits_{x\to a} \dfrac{x-a}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\lim \limits_{x\to a} \dfrac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})} = \dfrac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{a})} =\dfrac{1}{2\sqrt{a}}

Tuy nhiên với bài toán này ta không nhất thiết phải nhân biểu thức liên hợp vì ta có thể phân tích biểu thức x-a=(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a})

Ta có:

\lim \limits_{x\to a} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \lim \limits_{x\to a} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a})} =\lim \limits_{x\to a} \dfrac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})} =\dfrac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{a})} =\dfrac{1}{2\sqrt{a}}

 

Vậy \lim \limits_{x\to a} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}

 

b. \lim \limits_{x\to 1} \dfrac{\sqrt{3x-1}-2}{\sqrt{x}-1}

Với bài toán này ta cần làm mất đi biểu thức làm cho mẫu bằng 0. Nếu ta chỉ nhân liên hợp với biểu thức dưới mẫu thì bài toán có giải quyết được không? ta thử xem nhé:

\lim \limits_{x\to 1} \dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt{x}-1}= \lim \limits_{x\to 1} \dfrac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim \limits_{x\to 1} \dfrac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{x}+1)}{x-1}

Tới đây bài toán vẫn còn dạng 0/0 do đó ta chưa thể tình giới hạn này được. Vì vậy ta cần phải liên hợp một lần nữa biểu thức trên tử, tức là liên hợp của biểu thức \sqrt{3x+1}-2. Bài toán sẽ được trình bày lại như sau:

\lim \limits_{x\to 1} \dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt{x}-1}

= \lim \limits_{x\to 1} \dfrac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{3x+1}+2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt{3x+1}+2)}

=\lim \limits_{x\to 1} \dfrac{(3x+1-4)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}

= \lim \limits_{x\to 1} \dfrac{3(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}

 =\lim \limits_{x\to 1} \dfrac{3(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{3x+1}+2}

 = \dfrac{3.2}{2+2} =\dfrac{3}{2}

Vậy \lim \limits_{x\to 1} \dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt{x}-1} =\dfrac{3}{2}

Bạn có thể áp dụng cách giải dạng 0/0 này bằng một cách giải khác, đó là sử dụng quy tắc L'Hopital. Nếu bạn quan tâm tới quy tắc L'Hopital thì xem bài giảng này tại link sau: Tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc L'Hopital

Với hai bài tập cơ bản như trên các bạn đã hiểu rõ về giới hạn hàm số dạng không trên không - \dfrac{0}{0} chưa? Thầy đã cô gắng phân tích và hướng dẫn lời giải sao cho thật chi tiết để bất kì bạn nào xem được bài giảng cũng sẽ hiểu và làm được dạng toán này. Nếu có bài tập hay vấn đề gì mà các bạn chưa rõ thì cứ gõ vào phần bình luận nhé, thầy sẽ cố gắng giải đáp giúp các bạn.

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

185 Thảo luận

  1. thu says:

    ( 2^x - x^2)/ (x-2) khi x=>2

    Thầy chỉ cho em cách giải với ạ

    • Em tham khảo lời giải nhé:

      giới hạn hàm số mũ dạng 0/0

      • Hoangoanh says:

        Tại sao lại chọn thêm bớt số 4. Thầy có thể nói rõ hơn được k ạ.

        • tại sao phải thêm bớt số 4 thì mình chú ý vào chỗ này, chúng ta cần có biểu thức \dfrac{2^{x-2}-1}{x-2} để áp dụng nên ta sẽ đi phan tích từ đây để làm xuất hiện số 4.

          \dfrac{2^{x-2}-1}{x-2} = \dfrac{2^x.2^{-2}-1}{x-2}=\dfrac{\dfrac{2^x}{4}-1}{x-2}=\dfrac{2^x-4}{4(x-2)}

          Trên tử xuất hiện số 4 rồi đó.

      • thanguyen says:

        bạn tham khảo cách làm này nhé

        Đặt f(x) = 2^x - x^2 => f(2) = 0  đơn giản vì đây là dạng 0/0 mà =))

        Ta viết lại biểu thức lim là

        lim [f(x) - f(2) ] /(x-2) = f'(2) ;

        f'(x) = 2^xln2 - 2x => f'(2) = 4ln2 -4

      • tram says:

        limx→13x−1−−−−−√−2x√−1 sao xuống dưới lại trở thành công v thầy
        limx→13x+1−−−−−√−2x√−1=limx→1(3x+1−−−−−√−2)(x√+1)(x√−1)(x√+1)=limx→1(3x+1−−−−−√−2)(x√+1)x−1 thầy có thể giải thích thêm cho e hiểu được không ạ

      • says:

        thầy ơi sao lại có luôn được số bị trừ bằng 4ln2 vậy ạ?

  2. Phạm Anh Khoa says:

    (2^sinx - (1+x)^1/2)/ln(1+x) khi x=>0

    Thày giải hộ em với

    • st says:

      mình thế VCB ở mẫu rồi dung L'hopitol

       

      • st says:

        xin phép ad ^^

        khi x->0 thì ln(1+x)->x. Khi đó

        x->0: (2^sinx-(1+x)^0.5)/ln(1+x)=(2^sinx-(1+x)^0.5)/x.

        Dùng L' khử dạng vô định: x->0: [(cosx)(2^sinx).ln2 -[(1+x)^-0.5]/2=ln2-0.5

         

  3. trọng says:

    Cho em tài liệu tham khảo khử dạng vô định của hàm số có dạng lượng giác

  4. trần thị liên says:

    thay giai ho em bai nay voi

    (((1+x)^1/x) : e)^1/x khi x->0

    • Bài này em sử dụng logarit cơ số e.
      \lim \limits_{x\to 0}{(\dfrac{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}}{e})^{\dfrac{1}{x}}}
      =\lim \limits_{x\to 0}{e^{\dfrac{1}{x}.ln\dfrac{(1+x)^{\dfrac{1}{x}}}{e}}}

      Tới đây thì biến đổi tiếp dễ hơn rồi

  5. ngọc ánh says:

    lim    (x^4-x^2-72)/(x^2-2x-3)

    x->3

  6. Thao nguyen says:

    Thầy giúp e câu này vs

    Lim(sin căn(x+1)  - sin căn x )

    x->+vô cùng

    • B1: Em sử dụng công thức sina-sinb=2cos{\dfrac{(a+b)}{2}}.sin{\dfrac{(a-b)}{2}}
      với a=\sqrt{x+1}, b=\sqrt{x}
      B2: Nhân liên hợp 2 biểu thức căn xuất hiện trong sin và cos tính ở B1: \sqrt{x+1}+\sqrt{x}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}
      B3: Biến đổi tiếp để áp dụng \lim \limits_{x\to 0}{\dfrac{sinx}{x}}=1

      • Thao nguyen says:

        Nhưng thầy ơi. Ở đây là x->+vô cùng thì s áp dụng đk CT lim sinx/x

        x->0

        Thầy có thể ns chi tiết hơn k ạ

  7. Minh says:

    Thầy cho thêm dạng không trên không có căn bậc 3 đi thầy

  8. trịnh minh hưng says:

    thầy ơi cho e hỏi với vì sao

    x5−1 thành (x−1)(

    x4+x3+x2+x+1) vậy a

    x5−1

  9. Tuyet Mai says:

    giúp em ạ lim((1-x)^5-(1+5x))/(x^5+x^2)

     

  10. Như says:

    Giúp em bài này ạ

    ((Căn3 (x-9)+căn2 (x-2))/x-1khi x→1

     

  11. TN says:

    Thầy giải giúp em câu này ạ

    Lim (căn 2(x+1)-căn 3(x+1).căn 2(2x+1))/x khi x=>0

  12. tùng mai says:

    Thầy chỉ e với ạ:

    lim (e^x-cosx)/x khi x->0

    tks thầy nhiều ạ

    • anh says:

      Bạn thêm và bớt 1 vào nhé. \dfrac{e^x-1+1-cosx}{x}=\dfrac{e^x-1}{x}+\dfrac{1-cosx}{x}

      cái này thì tính dễ rồi \dfrac{e^x-1}{x} =1

      1-cosx=2sin^2{\dfrac{x}{2}}. Bạn nhân thêm tử và mẫu thêm x để dưới mẫu xuất hiện x^2 sao đó áp dụng lim\dfrac{sinx}{x}=1 khi x->0

  13. Lephuong says:

    Sao em ko thâỳ ko post bài dạng có hàm số ạ

  14. mai says:

    thầy giải giúp e bài này voi ạ, bạn nào biết giải giup minh nhe

    lim (((can bac hai(x+2) * can bac ba(3x +2))-2x)/(x-2)) khi x->2

  15. Quy says:

    Lim(x->1) của e^(1-x) + x -2 tất cả chi cho x-1. giải cái này thì đặt 1-x=t đúng không ạ? E đang ôn để thi vb2, lâu không động đến nên không nhớ lắm mong thầy giải giúp với ạ bài đầy đủ đây: 

  16. Tuân Văn Cao says:

    Cảm ơn thầy giáo

  17. ngọc says:

    Thầy giải hộ e bài này vs ạ

    Lim((x+1)*(2x+1)*(3x+1)-1)/x

    x->0

  18. Thành says:

    Thầy giải giúp em bài này nhé.

    lim([căn bậc 3 (x)] -[căn bậc 2 (2-x)])/(x^2 - 2x +1) khi x dần tới 1

    • Em biến đổi như sau:
      \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt{2-x}}{(x-1)^2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt{2-x}}{x-1}}{x-1}=\dfrac{\dfrac{(\sqrt[3]{x}-1)+(1-\sqrt{2-x})}{x-1}}{x-1}

      =\dfrac{\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}+\dfrac{1-\sqrt{2-x}}{x-1}}{x-1}

      =\dfrac{\dfrac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{(x-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}+\dfrac{x-1}{(x-1)(1+\sqrt{2-x})}}{x-1}

      =\dfrac{\dfrac{x-1}{(x-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}+\dfrac{x-1}{(x-1)(1+\sqrt{2-x})}}{x-1}

      =\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}+\dfrac{1}{1+\sqrt{2-x}}}{x-1}

      Tới đây tính giới hạn được rồi

    • Thành says:

      Thầy giải chi tiết giúp em. Phép biến đổi trên, ở dòng 3 em không hiểu vì đang là căn bậc 3 sao lại thành căn bậc 2?

  19. Long says:

    Thầy giải giúp em biểu thức này : lim(  (căn(6x-11)-căn 3(9x-17))/(x^3-3x^2+4)  ) khi x tiến tới 2

     

  20. phanthithanhnhan says:

    thầy giải giúp em bài này với ah em giải hoài mà không ra hichic

    lim(tan)mũ(pi/2-x)khi x tiến tới bên trái( pi /2  ) -1

  21. Nhi says:

    Thầy giai giúp em bài này với

    a. Lim 1/x *(1/(x+1)-1) khi x tiến tới 0-

    b. Lim (x^2 -3x +2)/(căn 2 của (2-x) khi x tiến tới 2-

     

  22. Hải Minh says:

    thầy ơi giải giúp em bài này với

    tìm lim [căn bậc 3(x-2) - 5*căn(x+1) +x^2]/(x-3) khi x tiến đến 3

    em cám ơn thầy ạ

     

  23. Thành says:

    em cảm ơn thầy. Em xử lý được rồi.

     

  24. Huan says:

    có bài nào thuộc dang 0/0 mà có tích của 3 căn bất kì không giống nhau . ví dụ như căn 2 nhân căn 3 nhân căn 4 cộng với một lượng nào rồi chia cho 1 biểu thức. giúp em với ạ

  25. Hung says:

    Cho em hỏi bài này

    Lim(5/(1-x^5) - 2016/(1-x^2016)) khi x đến 1

     

    • Em thêm bớt như sau:
      \dfrac{5}{1-x^5}-\dfrac{2016}{1-x^{2016}}=(\dfrac{5}{1-x^5}-\dfrac{1}{1-x})-(\dfrac{2016}{1-x^{2016}}-\dfrac{1}{1-x})=A-B

      Tới đây em quy đồng và tính riêng từng biểu thức A và B, để đưa về dạng 0/0. Đặt nhân tử chung trên tử là (1-x).

      • Hung says:

        Thầy có thể giải rõ thêm chút nữa cho em được không ạ. Em vẫn không biết cách quy đồng

         

        • Biến đổi: 1-x^5=(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4)

          (\dfrac{5}{1-x^5}-\dfrac{1}{1-x})=\dfrac{5-(1+x+x^2+x^3+x^4)}{1-x^5}

          =\dfrac{4-x-x^2-x^3-x^4}{1-x^5}

          =\dfrac{(1-x)+(1-x^2)+(1-x^3)+(1-x^4)}{1-x^5}

          \dfrac{(1-x)[1+(1+x)+(1+x+x^2)+(1+x+x^2+x^3)]}{(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4)}

          Biểu thức còn lại tương tự

  26. Hung says:

    Cho e hỏi tiếp

    Căn bậc 3 của(x^3 + x^2) trừ cho căn của ( x^2 +1)

     

     

  27. y bình says:

    cảm ơn thầy rất hay

  28. Phương Thảo says:

    lim((căn bậc 3 của (2-n^3) + n)/(căn bậc 2 của (n^2+1)-n))

    thầy ơi hướng dẫn giúp em bài này ạh

  29. An says:

    (1 - cos2x)/(5(pi-x)) khi x tiến tới pi ạ thầy tính giúp em

  30. Nhon says:

    lim -x^3+7x^2-14x+6/9-x^2 khi x tien toi 3 thi lam sao thay chi em voi

  31. Hiếu says:

    Thầy giáo ơi

     

  32. Hiếu says:

    X^3-3x^2+4x-2/x-1 khi x tiến tới 1. Giáo viên dạy e nói là kết qua bằng -3/2 mà e k biết làm thế nào để ra nữa ạ

  33. Mạnh says:

    thầy giúp em bài này với:

    Lim  x+1/(x-2)^2    x->2

    Em cảm ơn thầy

  34. phuong su says:

    thay giang cho em bai ne vs lim (can bac 3cua x^3+3x^2-can bac 2cuax^2-2x)kh x->=vô cùng

     

  35. phuong su says:

    doi 14 tieng ma chang tháy thay tra loi thay ban a

     

    • Em thêm biểu thức căn bậc 3 với -x, biểu thức căn bậc 2 với x, sau đó nhân liên hợp từng biểu thức 1.
      Biểu thức đầu tiên trên tử sẽ còn 3x^2, dưới mẫu làm xuất hiện nhân tử chung là x^2 để rút gọn với tử
      Biểu thức thứ 2 trên tử sẽ còn 2x, dưới mẫu làm xuất hiện nhân tử chung là x để rút gọn với tử.

      Xin lỗi các em vì thời gian này thầy đang bận nên không thể trả lời hết các câu hỏi của các em, 1 ngày thầy nhận rất nhiều câu hỏi. Có thời gian thì thầy cũng chỉ trả lời đc phần nào.

  36. hồng ngọc says:

    thầy ơi giúp em với:

    tìm giới hạn:

    lim ((căn bậc ba của 1+x)-(căn bậc hai của 1+x))/x  khi x dần đến 0

  37. minh yến says:

    thầy tính giúp e vs 

    lim (e^(2x)- 1 - 2x)/x^2) khi x dần tới 0

  38. tructruong says:

    thầy giúp e với ạ :

    lim 1-cot^3x /2-cotx-cot^3 x          (khi x --> bi/4)

  39. Tú Hoàng says:

    Lim(a + 2/a) khi a -> 0

    Thầy tính e với

  40. Mạnh says:

    Thưa thầy,

    Em có gặp bài toán như sau và chưa biết cách giải.

    Nhờ thầy hướng dẫn giúp em với ạ.

    lim x->1 của: x^3-2x+1/x^2+2x

    Em cảm ơn thầy nhiều ạ!

     

  41. Thảo says:

    Thầy Giáo Nghèo thật là tốt bụng ^^

    Chân thành cảm ơn thầy thật nhiều vì đã bớt chút thời gian quý báu của thầy mà hướng dẫn tận tình, chu đáo.

  42. Học sinh says:

    Chào thầy. Thầy có thể giúp em câu này được không?
    Lim x->0  (Cos 4x - căn của 1 - sin 3x)/x
    E cảm ơn thầy 🙂

    • B1: em nhân liên hợp
      b2: biến đổi cos^2{4x}=1-sin^2{4x} sau đó tiệt tiêu hết sô 1
      b3: tách thành 2 phân thức
      - phân thức 1: chứa \dfrac{sin^2{4x}}{x.A(X)}
      - phân thức 2: chứa \dfrac{sin{3x}}{x.A(X)}
      thêm bớt làm xuất hiện dạng \dfrac{sinx}{x} là tính đc.

  43. Tuyết says:

    Thay oi giup e voi....  lim( 4- 4÷x^2) khi x ve 0

  44. Tuyết says:

    Voi lai th cho e hoi la e khao sat ham so có cach nao nhjn zo la pit lim ra may khoi can phan tich dc k th

  45. Hùng says:

    Lim {(x^2 + 2001)×[√ bậc 7 của (1-2x)] - 2001}÷x khi x-->0
    Thầy giảng giúp em bày này vs ạ
    E xin cám ơn thầy!

    • EM biến đổi: \dfrac{(x^2+2001)\sqrt[7]{1-2x}-2001}{x}= \dfrac{x^2.\sqrt[7]{1-2x}+2001.\sqrt[7]{1-2x}-2001}{x}
      =x.\sqrt[7]{1-2x}+\dfrac{2001.(\sqrt[7]{1-2x}-1)}{x}
      Biểu thức đầu tính đc rồi
      Biểu thức thứ 2 đặt \sqrt[7]{1-2x}=t =>x=\dfrac{1-t^7}{2} đổi cận cho biến t, thay vào là tính đc

  46. tuyến says:

    cho em hỏi cách làm 2 bài này ạ!
    - Tìm lim (x^m - a) / (x^n - a) khi x -> a. Em xin kết quả cuối cùng vì em biến đổi sau khi đặt x-a chung không biết biến đổi sao nữa.
    - lim [(3*x^2 - x +1)/ (3* x^2 + x - 1)]^[x^2/(1+x)] khi x -> vô cùng

  47. Cường says:

    Thầy giúp em với ạ
    Lim (ln x - 1)/( x - e) với x -> e, dạng 0/0 thầy ạ

  48. xuân oanh says:

    Thầy giúp em ạ. chứng minh lim ((sin5x)/x) khi x đến vô cùng

  49. Thai says:

    Thầy ơi giúp e mấy câu này với ạ:
    1. Lim(xsinbi/3) khi x đến vô cùg.
    2. Lim[(3tan(sinx)+2sin(tanx))/(x+tanx)] khi x đến 0.
    3. Lim[(1-cosx.căn(cos2x))/x^2].

  50. NGỌC TÀI says:

    Giai giup e bai lim((x^3*canbac2cuax +x^2+1)/(2x^3*canx -x^2 +2))

  51. NGỌC TÀI says:

    Giai giup e bai lim((x^3*canbac2cuax +x^2+1)/(2x^3*canx -x^2 +2)) khi x=»vo cung

  52. Kieuoanh says:

    Giúp e bài này: lim ((x mũ 2016-1)/x-1) khi x=> 1.. cảm ơn thầy trước ạ

  53. phuthinh says:

    thầy giúp em với

  54. phuthinh says:

    thay giup em voi ạ lim(x^2-x-2)^20/(x^3-12x+16)^10 khi x->2

  55. huy tú says:

    e nhờ thầy chỉ e với ạ
    lim┬(x→0)⁡〖(e^3x-1)/(〖2x〗^2+6x)〗

  56. Đăng says:

    Thầy giải giúp em bài này với
    tử: trị tuyệt đối của (x^2 + 2x - 3)
    mẫu: x^2 - 1
    khi x --> 1-

  57. seryna degel says:

    thầy có tài liệu về toán cao cấp không ạ T.T

  58. Hà says:

    thầy ơi giúp e tính lim((3^x)-(2^x))/((4^x)-(3^x)) khi x dần tới 0

  59. Hung says:

    Thầy giúp em bài này với a tính giới hạn x->0 của x^2.cos(1/x). Em cảm ơn thầy

    • -1\leq cos(\dfrac{1}{x})\leq 1 \Leftrightarrow -x^2\leq x^2.cos(\dfrac{1}{x})\leq x^2
      \lim \limits_{x\to 0}{x^2}=0; \lim \limits_{x\to 0}{-x^2}=0
      Do đó kết quả bằng 0

  60. Quí says:

    Giúp e với.cosx/căn bậc3 (1-sinx)2 khi x tiến tới π\2 ạ

    • Quí says:

      Giải giúp e bài này với ạ.cosx/căn bậc 3 (1-sinx)^2 khi x tiến tới π\2 ạ

      • Tử cosx=\sqrt[6]{cos^6x}=\sqrt[6]{(1-sin^2x)^3}=\sqrt[6]{[(1-sinx)(1+sinx)]^3}
        Mẫu \sqrt[3]{(1-sinx)^2}=\sqrt[6]{(1-sinx)^4}
        Tới đây triệt tiêu tử và mẫu làm mất 1-sinx trên tử, khủ đc dạng 0/0. Tính bình thường.

  61. Kaka Hai says:

    lim( tanx-x):(sinx-x) khi xdan toi 0

  62. Nguyễn Thị Mai says:

    limx.(e^x- e^(-x))/(ln(e-x)+x-1) với x->0 . thầy giúp e với ạ!

  63. Thảo says:

    Thầy ơi chỉ em câu này với ạ
    Lim(x^2×sin(1/x)) khi x->0

    • -1\leq sin(\dfrac{1}{x})\leq 1 \Leftrightarrow -x^2\leq x^2.sin(\dfrac{1}{x})\leq x^2
      \lim \limits_{x\to 0}{x^2}=0; \lim \limits_{x\to 0}{-x^2}=0
      Do đó kết quả bằng 0

    • em đưa về cùng 1 biểu thức có mẫu chung là x, sau đo nhân liên hợp với cái lượng trên tử là ra.
      \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{c(a+b)}

  64. nhung says:

    thầy ơi.thầy giúp e bài này với ạ
    lim Xdần đến 0. 3 mũ X2 trừ 2 mũ X2 tất cả trên LN cos2x

  65. lim x>1 của căn3 của 7+x^3 - căn 2 của 3+x^2/ x-1
    chưa căn bậc 3 e k biết làm sao hết th ạ.. giup e

  66. ny says:

    Thầy ơi giải giúp em bài này với Lim(căn3(1+x/3)-căn4(1+x/4))/(1-căn 2(1-x/2)) x->0

    • em thêm bớt vào 2 biểu thức căn trên tử là 1 và -1, sau đó liên hợp từng biểu thức trên tử. dưới mẫu cũng liên hợp nhé. Sẽ triệt tiêu đc dạng 0/0 và khử đc x

  67. mien says:

    lim(1-cosx) nhân tan2x khi x->0

  68. mien says:

    giúp e bài này vs thầy....lim(1-cosx) nhân tan2x khi x->0

  69. trangtran says:

    thầy giúp e câu này với
    lim ((e^(3x)+tan(x))^1/x) khi x -> 0

  70. Thu Vân says:

    thầy giúp e bai này vs ạ
    limx->3 căn bậc hai của ((căn x trừ căn 3)/(x^4 trừ 81))

  71. Bùi vũ says:

    Thầy xem cách giải hộ em với
    Lim ((x mũ 1/n trừ 1) trên (x mũ 1/m trừ 1))
    x->1

  72. Nam says:

    Thầy ơi , thầy làm giúp em bài này với ạ : lim x => 4 của ( x^2-5x+4).ln(x-4)

    • Bài này thuộc dạng 0.vocùng, ta đưa về dạng vô cùng/ vô cùng
      ( x^2-5x+4).ln(x-4) =\dfrac{ln(x-4)}{\dfrac{1}{x^2-5x+4}}
      tới đây em sử dụng quy tắc LHopital để tính sẽ được \dfrac{x^2-5x+4}{2x-5}=\dfrac{x-1}{2x-5}
      Và kết quả là 1

  73. Thành Đạt says:

    Thầy giúp em giải bài này ạ
    lim x-->0 (e^2x-e^-2x)/sin2x

  74. Phúc says:

    thầy giúp em câu này với : Limx->1 (lnx+1-x)/(x-x^x)

  75. oanh says:

    thầy ơi khi ta tách giới hạn thành 2 giới hạn trong đó 1 giới hạn hữu hạn còn giới hạn còn lại ta có được phép sử dụng vô cùng bé không ạ

  76. ha says:

    Thầy giải giúp em bài này nha: Lim(4x^3-5x^2+8x)^7x^2 khi x tiến về 0. Em cảm ơn

  77. Nhung says:

    Thầy giải giúp em bài này nha: Lim(4x^3-5x^2+8x)^7x^2 khi x tiến về 0. Em cảm ơn

  78. trung says:

    giúp em với lim(x>+vocung) ((2/pi)*arctanx)^3x+1

  79. tinh says:

    giải giup e với thây ơi lim x^x -1/xlnx khi x đến 1

  80. tuân says:

    Thầy giúp em bài này
    Lim (ln 1+10xnhânsinx)/(sin^2 3x) khi x tiến về 0

  81. says:

    thầy giúp em cái này với lim1/x^2 khi x tiến tới 0 , lim( 1/x^2 )/(1/x^4) khi x tiến tới 0 . em cảm ơn thầy ạ

  82. Phạm Đaeng Tuân says:

    Thầy giải giúp em bài ni với ạ : lim x->0 x/ken(x^2) . Em cảm ơn

  83. Tranhana says:

    Thầy ơi giúp e : lim 1[ (căn 2 của x+3) -2]

  84. mon says:

    lim x->1 (X^3 + 4X^2 + X - 6)^10/(X^3 - 2X^2 - X + 2)^20
    bài này làm theo cách nào vậy thầy.?

    • Ở trên tử và mẫu đều có nhân tử x-1, do đó em phân tích đa thức trên tử và dưới mẫu thành dạng (x-1)f(x) sau đó khử x-1 và làm bình thường

  85. long says:

    thầy giúp e vs : tìm lim (x^100-2x+1)/(x^50-2x+1)khi x->1

  86. Thu Hương says:

    thầy ơi giúp em : [ căn ( x+7) - căn( 4x+1)] / [ căn ( 6-x) - căn ( 3x-2 ) ]

  87. ớt anh says:

    thầy ơi, thế còn dạng thêm bớt 1 biểu thức thì sao ạ, làm sao để tìm ra biểu thức đó ạ? ví dụ như
    lim((căn 1+4x)+căn(1+6x))/x^2 khi x tiến đến 0 ạ

    • Bài toán của em có phải dạng 0/0 đâu em, bài này tính bình thường mà. Nếu dấu + được thay bằng dấu - giữa 2 biểu thức căn thì có dạng 0/0.
      Khi đó em thay cận vào từng căn bậc 2. đc kết quả bao nhiêu thì thêm bớt với chính lượng đó.
      Giả sử thay x=0 vào \sqrt{1+4x}=1, \sqrt{1+6x}=1 thì thêm bớt 1 nhé

  88. kiên sò says:

    thầy giúp em bài này với ạ
    (căn bậc ba của(1+2x) - cos căn bậc 2 của x) tất cả trên x
    khi x -> 0+
    cảm ơn thầy

  89. says:

    Thầy giúp em với ạ:
    Limx–>1 (X-1)/(căn (x^2+3) + x^3 - 3x)

    • Em biến đổi dưới mẫu nhé: thêm bớt số 2 sau đó liên hợp ở biểu thức có căn, dưới mẫu xuất hiện nhân tử x-1
      (\sqrt{x^2+3}-2)+(x^3-3x+2)=\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^2+3}+2}-(x-1)(x-2)

  90. dương says:

    nhưng tại sao lại đc kết quả là m/n vậy thầy

  91. hương says:

    Thầy hộ e với
    (³√(4x-2)) /(x-2)
    x->2

    • Bài toán của em để có dạng 0/0 thì phải là: lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}
      Em áp dụng hằng đẳng thức a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
      Em nhân thêm 1 lượng (a^2+ab+b^2) này nữa nhé, sẽ khử đc x-2

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *