Giải phương trình chứa căn bằng đường thẳng

loading...

Giải phương trình chứa căn bằng cách sử dụng phương trình đường thẳng không biết các bạn đã nghe qua chưa? Nhiều khi ta thấy hai khái niệm "giải phương trình" trong đại số và "đường thẳng" trong hình học chẳng liên quan gì tới nhau thế mà trong bài giảng hôm nay các bạn sẽ thấy chúng lại yêu nhau tha thiết. Trước khi vào nội dung chính các bạn hãy xem lại các dạng phương trình đường thẳng dưới đây nhé.

1. Nhắc lại kiến thức về đường thẳng

a. Phương trình tổng quát

Đường thẳng đi qua điểm M(x_0;y_0) nhận \vec{n}(A;B) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là: (d): A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 hay Ax+By+C=0.

Ví dụ: Đường thẳng đi qua M(1;2) nhận \vec{n}(2;3) làm VTPT có phương trình là:2(x-1)+3(y-2)=0 \Leftrightarrow 2x+3y-8=0

b. Phương trình tham số

Đường thẳng (d) đi qua M(x_0;y_0) nhận \vec{u}(a;b) làm véctơ chỉ phương có phương trình là:

\left\{\begin{array}{2}x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{array}\right.

Ví dụ: Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) nhận \vec{u}(2;-3) làm VTCP có phương trình là:\left\{\begin{array}{2}x=1+2t\\ y=2-3t \end{array}\right.

c. Cho phương trình ở dạng tổng quát, viết phương trình dạng tham số.

Cho phương trình đường thẳng (d): x+2y-1=0. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d).

Lời giải:

VTPT của (d) là: \vec{n}(1;2)
VTCP của (d) là: \vec{u}(-2;1)
Lấy điểm M(1;0) thuộc (d). Khi đó ta có phương trình tham số của (d) là: \left\{\begin{array}{2}x=1-2t\\ y=0+t \end{array}\right.

Có thể bạn quan tâm: Phương trình mặt phẳng trong không gian

2. Giải phương trình chứa căn bằng phương trình đường thẳng

Ví dụ: Giải phương trình sau: \sqrt{x^3+8}+3\sqrt{12-x^3}=10

Lời giải:

Đặt \sqrt{x^3+8}=1+3t; \sqrt{12-x^3}=3-t với điều kiện là: \left\{\begin{array}{2} 1+3t \geq 0\\3-t \geq 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{2} t \geq -\frac{1}{3}\\ t\leq 3 \end{array}\right.

Ta bình phương hai vế sẽ được:

x^3+8=(1+3t)^2 \Leftrightarrow x^3+8=9t^2+6t+1 (*)
12-x^3=(3-t)^2 \Leftrightarrow 12-x^3=t^2-6t+9  (**)

Lấy (*) + (**) ta được: 20=10t^2+10 \Leftrightarrow t^2=1 \Leftrightarrow t=1 hoặc  t=-1 (loại)

Với t=1 ta có: x^3+8=16 \Leftrightarrow x^3=8 \Leftrightarrow x=2

Các bạn thử lại thấy x=2 thỏa mãn phương trình. Vậy x=2 là nghiệm của phương trình.

Vậy là thầy đã trình bày với các bạn lời giải của bài toán trên. Khi xem xong lời giải trên hẳn các bạn sẽ có hai câu hỏi đặt ra trong đầu rằng:

1. Tại sao thầy lại đặt \sqrt{x^3+8}=1+3t; \sqrt{12-x^3}=3-t được như vây? lý do vì sao ta?

2. Trong tiêu đề bài viết thầy giật TIT là :"Giải phương trình chứa căn bằng đường thẳng". Vậy mà chẳng thấy ông thầy này sử dụng phương trình đường thẳng gì cả. Chả có nhẽ ông ấy câu "LIKE" chăng ?

Vâng thưa các bạn việc thầy đặt ẩn phụ cho căn thức như trên là do thầy đã sử dụng tới cách viết phương trình đường thẳng. Nhưng trong quá trình giải thầy đã ẩn đi bước làm đó vì nó không cần thiết khi trình bày lời giải. Và khi chúng ta có đi thì thì công việc của chúng ta cũng chỉ cần trình bày lời giải như trên là được rồi.

loading...

Vậy cụ thể thầy làm như thế nào để có được cách đặt ẩn phụ cho căn thức bậc hai ở trên và thầy đã sử dụng phương trình đường thẳng trong việc giải phương trình như thế nào? Thì ngay dưới đây bí mật sẽ được tiết lộ.

3. Hé mở bí mật của việc chọn ẩn phụ

Thầy chép lại cái đầu bài: \sqrt{x^3+8}+3\sqrt{12-x^3}=10

Thầy đặt \sqrt{x^3+8}=X; \sqrt{12-x^3}=Y.

Khi đó phương trình trên sẽ trở thành X+3Y=10.

Các bạn thấy đây có phải là phương trình tổng quát của đường thẳng không? Để có được ẩn t như trên ta sẽ chuyển phương trình tổng quát về dạng phương trình tham số.

Ta tìm được VTCP của đường thẳng trên là: \vec{u}(3;-1) và lấy điểm M(1;3) thuộc đường thẳng. Khi đó phương trình tham số là: \left\{\begin{array}{2}X=1+3t\\ Y=3-t \end{array}\right.

Với \left\{\begin{array}{2}X=1+3t\\ Y=3-t \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{2}\sqrt{x^3+8}=1+3t\\ \sqrt{12-x^3}=3-t \end{array}\right. .

Vậy tới đây các bạn đã rõ hai câu hỏi vì sao ở trên chưa? Thắc mắc đã được giải đáp rồi nhé.

Nhưng mọi sự vật hiện tượng luôn tồn tại mâu thuẫn, khi mẫu thuẫn này được giải quyết thì mâu thuẫn kia lại nảy sinh. Vậy khi hai câu hỏi trên được giải quyết thì sẽ có một số câu hỏi khác nảy sinh, đó là gì?

Có bạn sẽ hỏi ở chỗ này, khi chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số ta cần xác định véctơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng. Vấn đề là một đường thẳng thì lại có rất nhiều véctơ chỉ phương và rất nhiều điểm thuộc đường thẳng. Vậy ta sẽ chọn véctơ nào và điểm nào?

Xin thưa với các bạn rằng ta có thể chọn bất kì một véctơ chỉ phương nào của đường thẳng và bất kì một điểm nào của đường thẳng để viết phương trình tham số. Khi đó ẩn phụ đặt cho căn thức sẽ thay đổi, nhưng kết quả thì không thay đổi đâu nhé. Cụ thể các bạn có thể làm thêm một cách nữa cho hiểu rõ hơn.

Thầy sẽ lấy hộ một VTCP là \vec{n}(-3;1) và điểm A(10;0) hoặc B(4;3) thuộc đường thẳng. Các bạn hãy viết phương trình tham số của đường thẳng cho 2 trương hợp thầy nêu ở trên. Sau đó sẽ thấy ẩn phụ thay đổi nhưng các bạn giải ra kết quả x=2 vẫn là nghiệm của phương trình. Hãy bắt tay ngay vào thử nghiệm đi nhé, có gì cần trao đổi thêm các bạn hãy gõ vào hộp bình luận phía dưới nhé.

4. Lời kết

Vậy là trong bài giảng hôm nay thầy đã gửi tới chúng ta một cách giải phương trình chứa căn thức bằng  phương trình đường thẳng. Đây là một cách khá hay mà chúng ta nên biết và áp dụng thành thạo bên cạnh những cách giải khác. Còn có nhiều phương pháp để giải phương trình và hệ phương trình, thầy sẽ gửi tới các bạn nếu có thời gian ngồi viết lách.

Bài tập để các bạn vận dụng thêm:

Giải phương trình sau: \sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x+2}=1

Đáp án: x=-2

XEM THÊM: Tài liệu và kinh nghiệm học môn toán

 

loading...

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

7 Thảo luận

  1. Nguyễn Thanh Hùng says:

    Áp dụng vào giải hệ phương trình vô tỷ thì không phải đặt kiểu gì cũng được

     

  2. Thành says:

    Thầy giải giúp em bài này nhé. Giải hệ hai phương trình

    (1): 2y^2-x^2=1 và (2): 2x^3-y^3=2y-x.

    • Em nhân chéo 2 vế của 2 phương trình, rút gọn sẽ được 1 phương trình đẳng cấp bậc 3. Chia cả 2 vế của phương trình tìm đc cho y^3,được 1 phương trình bậc 3, sẽ xuất hiện ẩn phụ là \dfrac{x}{y}.

  3. văn huy says:

    thưa thầy cho em xin kết quả bài tập vận dụng thầy cho ở trên ạ

  4. văn huy says:

    nếu phương trình có bốn dấu căn thì mình đặt làm sao hả thầy

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *