Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định

loading...

Các bạn đã nghe tới dạng toán tìm điểm cố định của họ đường cong C_m và trong blog của thầy cũng đã có bài giảng khá chi tiết về vấn đề này. Vẫn nói tới khái niệm cố định ở đây nhưng bài giảng hôm nay thầy muốn chia sẻ với các bạn một dạng toán mới, đó là: Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định.

cực trị của hàm số

Đây là một dạng toán rất được quan tâm đối với họ đường thẳng, đó là:

"Cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số m có phương trình: f_{(x,y,m)}=0, gọi là họ d_m.

Hãy tìm một đường cong cố định luôn tiếp xúc với họ đường thẳng d_m."

Để làm được dạng toán này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo 2 cách sau:

Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định

Cách 1: Sử dụng trực tiếp điều kiện tiếp xúc giữa Parabol và đường thẳng để tìm ra Parabol cố định.

Bước 1: Định dạng cho đồ thị cố định, thí dụ: Parabol là (P): y=ax^2+bx+c

Bước 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị với mọi giá trị của tham số, ta xác định được y=g_{(x)}

Ở bước này chính là các bạn lập phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và Parabol (P). Ta sẽ được một phương trình bậc 2 ẩn x với tham số có thể là m. Điều kiện tiếp xúc ở đây chính là phương trình bậc 2 có nghiệm kép hay \Delta \leq 0 với mọi giá trị tham số m.

Cách 2: Tìm cụ thể được Parabol, đi chứng minh parabol đó cố định và tiếp xúc với đường thẳng.

Bước 1: Tìm tập hợp các điểm mà họ d_m không đi qua. Tập hợp đó được xác định bởi bất phương trình có dạng: h{(x,y)}<0.

Bước 2: Ta đi chứng minh họ d_m luôn tiếp xúc với đường cong (C) có phương trình:h{(x,y)}=0.

Để hiểu rõ hơn hai phương pháp tìm ra một parabol cố định luôn tiếp xúc với họ đường thẳng d_m, chúng ta sẽ đi xem và xét ví dụ sau:

Bài tập 1: Cho họ đường thẳng d_m có phương trình: (2m+1)x-y-m^2=0. Chứng minh rằng d_m luôn tiếp xúc với một Parabol cố định.

loading...

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Giả sử Parabol (P) có dạng: y=ax^2+bx+c, a\neq 0

Điều kiện để d_m tiếp xúc với Parabol là phương trình:

ax^2+bx+c=(2m+1)x-m^2 có nghiệm kép \forall m

\Leftrightarrow ax^2-(2m+1-b)x+m^2+c=0 có nghiệm kép \forall m

\Leftrightarrow \Delta=0, \forall m

\Leftrightarrow (2m+1-b)^2-4a(m^2+c)=0, \forall m

\Leftrightarrow 4(1-a)m^2+4m(1-b)+(1-b)^2-4ac=0, \forall m          (*)

Để phương trình (*) có nghiệm với mọi giá trị của m thì các hệ số phải bằng 0

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll}1-a=0\\1-b=0\\{(1-b)^2}-4ac=0\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll}a=1\\b=1\\c=0\end{array}\right.

Do đó Parabol (P) có dạng:  y= x^2+x

Vậy, mọi đường thẳng của họ d_m luôn tiếp xúc với Parabol (P): y= x^2+x

Cách 2:

Bước 1: Tìm những điểm trên mặt phẳng mà không thuộc họ d

Gọi M(x;y) là điểm không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ d

Khi đó ta có:

(2m+1)x-y-m^2=0 vô nghiệm \forall m

\Leftrightarrow m^2-2xm+y-x=0 vô nghiệm \forall m  (phương trình ẩn là m)

\Leftrightarrow \Delta'<0

\Leftrightarrow x^2-(y-x)<0

\Leftrightarrow x^2+x-y<0

Vậy tập hợp các điểm M(x;y) thỏa mãn x^2+x-y<0 (các điểm thuộc miền trong của (P): y=x^2+x) không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ d

Bước 2: Ta đi chứng minh d luôn tiếp xúc với Parabol (P): y=x^2+x

Phương trình hoành độ giao điểm của d và Parabol (P): y= x^2+x là:

x^2+x = (2m+1)x-m^2

\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2=0   (*)

Phương trình (*) có: \Delta = m^2-m^2=0. Do đó phương trình (*) có nghiệm kép.

Vậy,mọi đường thẳng của họ d_m luôn tiếp xúc với Parabol (P)

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho họ đường thẳng d_m có phương trình: 4x-2my+m^2=0. Chứng minh rằng họ đường thẳng d_m luôn tiếp xúc với một Parabol cố định.

Bài 2: Chứng minh rằng họ đường thẳng d_m: y=2mx-m^2+2m+2  luôn tiếp xúc mới một parabol cố định

Bài 3: Cho điểm A(0;2); B(m;-2).

a. Hãy viết phương trình đường trung trực d của AB

b. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn tiếp xúc với đường cong cố định khi m thay đổi.

loading...

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *