Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng - hay

Sử dụng phương pháp phản chứng giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán hay, nhìn tưởng khó mà hóa ra lại đơn giản. Trong bài giảng này thầy muốn nói tới việc sử dụng phương pháp phản chứng trong chứng minh định lý. Đối với các bạn học sinh lớp 10 khi học ngay chương đầu tiên về mệnh đề sẽ được làm quen với chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Muốn sử dụng tốt phương pháp này các bạn cần hiểu rõ một số mệnh đề toán học như: Mệnh đề kéo theo, mệnh đề phủ định, mệnh đề với mọi, mệnh đề tồn tại.

Tham khảo bài giảng:

chung minh dinh ly bang phuong phap phan chung

Mệnh đề là gì?

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc câu khẳng định sai. Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Một mệnh đề không thể vừa có tính đúng, vừa có tính sai.

Ví dụ: 

  • 2+2=4 là một mệnh đề đúng
  • 2+2= -5 là một đề sai
  • Ôi! Trời hôm nay nóng quá! Đây không phải là mệnh đề.

Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P.

Kí hiệu: \overline{P}

Nếu mênh đề P đúng thì mệnh đề \overline{P} sai và ngược lại nếu mệnh đề \overline{P} đúng thì mệnh đề P sai.

Mệnh đề với mọi (\forall) và tồn tại (\exists)

Đây là hai mệnh đề phủ định của nhau. Rất nhiều học sinh không biết tìm mệnh đề phủ định của hai mệnh đề này. Ở đây thầy sẽ giúp các bạn phân biệt hai mệnh đề này và tìm mệnh đề phủ định của chúng. Bởi hai mệnh đề này được sử dụng rất nhiều trong các bài toán áp dụng chứng minh phải chứng.

  • Nếu cho mệnh đề "\forall x\in X,P(x)" thì phủ định của nó sẽ là: "\exists x\in X, \overline{P(x)}
  • Nếu cho mệnh đề "\exists x\in X,P(x)" thì phủ định của nó sẽ là: "\forall x\in X, \overline{P(x)}

Ví dụ:

Nếu có mệnh đề "Có ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ."

Thì phủ định của nó sẽ là: "Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ."

Như vậy thầy đã nói qua về một số khái niệm sẽ dùng tới trong quá trình chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Các bạn cần chú ý kĩ tới mệnh đề phủ định, mệnh đề với mọi và tồn tại cho thầy, bởi chúng sẽ được sử dụng rất nhiều trong quá trình chứng minh. Lý thuyết là như vậy đó, quan trọng là vận dụng ra sao trong việc giải quyết bài toán chứng minh phản chứng.

Phương pháp chứng minh phản chứng

Các bạn cần xác định được đúng mệnh đề P, mệnh đề Q. Từ đó tìm mệnh đề phủ định của Q là \overline{Q}.

Các bạn làm như sau:

  • Các bạn xác định mệnh đề P, Q và \overline{Q}
  • Giả sử mệnh đề Q sai, tức là mệnh đề \overline{Q} sẽ đúng.
  • Lập luận và sử dụng những điều đã biết để đi tới mâu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lý.
  • Từ đó đi tới kết luận.

Bài tập 1:

Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n nếu n^2 là số chẵn thì n là số chẵn.

Hướng dẫn:

Trước tiên các bạn xác định cho thầy các mệnh đề P, Q và \overline{Q}

  • P: n^2 là số chẵn
  • Q: n là số chẵn
  • \overline{Q}: n là số lẻ

Giả sử n là số lẻ, thì n=2k+1, k\in N

Khi đó: n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1 là số lẻ. Mâu thuẫn với giả thiết n^2 là số chẵn. Suy ra điều giả sử sai.

Vậy: Với mọi số tự nhiên n nếu n^2 là số chẵn thì n là số chẵn.

Bài tập 2: 

Nếu x\neq -1 y\neq -1 thì x+y+xy\neq -1

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và \overline{Q} là:

  • P: x\neq -1 y\neq -1
  • Q: x+y+xy\neq -1
  • \overline{Q}x+y+xy=-1

Giả sử:                 x+y+xy =-1 \Leftrightarrow x+y+xy+1=0

 \Leftrightarrow (x+1)+y(x+1)=0

\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=0

\Leftrightarrow x=-1 hoặc y=-1.

Mâu thuẫn với giả thiết là x\neq -1y\neq -1.

Vậy : Nếu x\neq -1 y\neq -1 thì x+y+xy\neq -1

Bài tập 3:

Chứng minh rằng nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và \overline{Q} là:

  • P: Nhốt 25 con thỏ vào 6 chuồng
  • Q: Ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ
  • \overline{Q}: Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.

Giả sử tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Khi đó số thỏ sẽ có tối đa là 4.6=24 con, mâu thuẫn với giả thiết là số thỏ có 25 con.

Vậy nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Bài tập 4:

Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: a^2+b^2\geq 2bc, b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab với a, b, c bất kì.

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và \overline{Q} là:

  • P: 3 số a, b, c bất kì
  • Q: ít nhất 1 trong 3 đắng thức là đúng a^2+b^2\geq 2bc, b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab
  • \overline{Q}: Tất cả các bất đẳng thức đều sai.

Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai, tức là:

a^2+b^2 < 2bc   (1)

 b^2+c^2 < 2ac   (2)

 a^2+c^2 < 2ab   (3)

Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta được:

a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2<2bc+2ac+2ab

\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2<0 (vô lý). Do đó điều giả sử sai.

Vậy: Với a, b, c bất kì sẽ có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: a^2+b^2\geq 2bc,b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab.

Trên đây thầy đã hướng dẫn chúng ta phân tích và giải quyết một số bài toán chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Với phương pháp này các bạn giải quyết được rất nhiều bài toán và làm chúng trở lên đơn giản với lời giải dễ hiểu. Quan trọng trong phương pháp này các bạn cần xác định chính xác mệnh đề phủ định của mệnh đề Q, để từ đó có lập luận chính xác đi tới mâu thuẫn hoặc vô lý.

Bài tập chứng minh phản chứng:

Bài tập 1: Chứng minh rằng:

a. Với mọi số nguyên dương n, nếu n^2 là số lẻ thì n là số lẻ.

b. Với mọi số nguyên dương n, nếu n^2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.

c. Với 2 số dương a và b thì a+b\geq 2\sqrt{ab}.

d. Nếu a+b<2 thì một trong 2 số a và b nhỏ hơn 1

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a. Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất 1 góc nhỏ hơn 60^0

b. Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

c. Nếu x^2+y^2=0 thì x=0y=0

d. Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

 

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

30 Thảo luận

  1. thư says:

    Thầy ơi có thể giảng cho e bài 2 d ở mục bài tập chứng minh phản chứng
    dc ko ạ

    • Em giả sử tứ giác ABCD có 2 góc đối có tổng =180 độ nhưng không nội tiếp đường tròn. Ta giả sử là D không thuộc => CD phải cắt đường tròn tại E.=> tứ giác ABCE nội tiếp =>góc A= góc E= 180 độ. mà theo giả thiết góc A=góc D=180 độ. => E trùng D => đfcm

      • thi says:

        em làm thế này được không thầy:gọi a,b,c,d lần lượt là 4 góc của tứ giác.ta có :a+c không = 180 độ,b+d không = 180(mâu thuẩn với giả thiết)
        ps:làm đơn giản quá chắc là sai rồi hả thầy

  2. diem xuan says:

    thầy ơi phép chứng minh phản ứng bài tập 4: một là thầy giải sai, hai là thầy viết sai đề
    nếu sai đề thì đề đúng là: a bình + b bình lớn hơn hoặc bằng 2bc chứ
    nếu làm sai thì (a-b tất cả bình phương)+ (a-c tất cả bình phương) + b bình+ c bình
    thầy xem lại nhá

  3. Quỳnh says:

    thầy ơi giúp e bài này
    cho a,b là 2 số ng dương xét 2 mệnh đề:
    P:"a và b là 2 số ngto cùng nhau "
    Q"a^3 +ab+b^3 và ab(a+b) là 2 số nguyên tố cùng nhau
    Mệnh đề trên cóp phải định lí k

  4. nguyen duc huy says:

    Em thưa thầy,ở trong bài có các định lý nào và chúng được chứng minh như thế nào ạ?

  5. Tâm says:

    Chỉ giùm em bt2 câu a+d nha thầy

  6. Quỳnh anh says:

    Thầy ơi 2 câu này chứng minh phản chứng sao thầy : nếu a và b là hai số dương thì a +b > hoặc = 2√ab ,
    Trong mặt phẳng , nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau .

    • Bài 1: giả sử a+b<2\sqrt{ab} => (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2<0 vô lý
      Bài 2: giả sử đt a và b cùng vuông góc với c tại 2 điểm A và B nhưng a và b không song song, tức là a và b cắt nhau. gọi giao điểm của a và b là C. Xét tam giác ABC có góc A + góc B + góc C = 90 + 90 + góc C >180 độ. vô lý => a và b phải song song

  7. Hoàng Yến Nhi says:

    Rất bổ ích. Bữa nào lên đưa đề hỏi thầy mới dc

  8. Cẩm says:

    thầy ơi giải giúp em câu này với ạ:cho a/b và c/d là hai phân số tối giản và b khác d . chứng minh a/b và c/d thuộc z

  9. Hà Chi says:

    Thầy giải ý a bài 2 hộ em với ạ?

  10. Cẩm says:

    đề đây mới đúng thưa thầy
    :cho a/b và c/d là hai phân số tối giản và b khác d . chứng minh a/b+c/d không thuộc z

  11. huệ says:

    cảm ơn thầy nhiều lắm, em đã hiểu hơn rồi, thầy có thể cho em một vài bài tập nâng cao đc k ạ

  12. Quyên says:

    Thầy ơi! Thầy giải giúp em bài này được không ạ???
    Chứng minh √3 và √5 không phải là số hữu tỉ bằng phương pháp phản chứng
    Thầy giúp em với em cần gấp lắm ạ

    • Bài này em giả sử \sqrt{3} là số hữu tỷ, khi đó \sqrt{3} viết được dưới dạng \sqrt{3}=\dfrac{a}{b} với (a,b)=1, a, b nguyên
      ta có: 3=\dfrac{a^2}{b^2} => a^2=3b^2 => a^2 chia hết cho 3 => a chia hết cho 3
      tương tự b chia hết cho 3
      từ dó =>a và b có 1 ước chung nữa là 3, trái với giả thiết (a,b)=1 => mâu thuẫn. vậy \sqrt{3} không là số hữu tỷ.

  13. Phuc says:

    Thầy oi giải bài 2 a, b giùm em

  14. Huỳnh Lượng says:

    Thầy ơi...thầy giải giúp e câu bài tập d. Nếu a+b<2
    thì một trong 2 số a và b nhỏ hơn 1
    Được không thầy

  15. Quỳnh says:

    thầy ơi, cho con hỏi bài toán này: cho tam giac ABC,có đường cao AH, điểm F, E nằm bất kì trên cạnh AB,AC ( BE,CF ko vuông góc với AB,AC). M là giao điểm của AH, BE, CF. Cminh HM là phân giác của góc FHE

  16. Thoa says:

    Thầy có thể cho e một số bài tập và lời giải về pp cm phản chứng, ở thpt nha thầy. Dạng sự vô lí suy ra từ những kiến thức đã biết. E cảm ơn thầy ạ.

  17. Thoa says:

    Thầy có thể cho e một số bài tập và lời giải về pp cm phản chứng ở thpt nha thầy. Dạng vô lí suy ra từ nhữg kiến thức đã biết. E cảm ơn thầy nhìu ạ.

  18. Trường says:

    thầy có thể giải hộ em bài toán này đc ko ạ: c/m: x^5 -x +2 không phải số chính phương với mọi thuộc Z+

  19. Dũng says:

    Làm sao để biết 2(2k^2+2k)+1 chia hết cho 3?

  20. mai trang trương says:

    thầy ơi thầy có thể cho em cái bản chuyển đổi từ trong toán học vd : ít nhất sang tất cả

  21. nga says:

    em cảm ơn thầy ,thầy viết rât dễ hiểu

  22. mai trinh says:

    thay oi giup em bai nay vs
    ko ton tai cac co nguyen x,y sao cho 2xbinh phuong + y binh phuong=1999

    • 1999 là 1 số lẻ, mà tổng của 2 số là 1 số lẻ => 2x^2 chắn và y^2 phải lẻ
      2x^2 chẵn => x^2 có thể chẵn hoặc lẻ.
      TH1: x^2 chẵn và y^2 lẻ => x=2a, y=2b+1
      em thay vào biểu thức bài toán cho, biến đổi rồi đặt nhân tử chung đc: 4(2a^2+b^2+b)=1998
      Vế trái chia hết cho 4, vế phải không. vậy không tồn tại số nguyên x, y

      Th2: x^2 lẻ và y^2 lẻ => x=2a+1, y=2b+1
      em thay vào biểu thức bài toán cho, biến đổi rồi đặt nhân tử chung,rút gọn đc: 2a(a+1)+b(b+1)=499
      Vế trái là tổng 2 số chẵn, vế phải lẻ=> không tồn tại x, y nguyên

  23. nhian says:

    Thầy giúp dùm em bài này với ạ
    C/minh các bất đẳng thức trên không đồng thời xảy ra
    |a|>|b+c|, |b|>|a+c|, |c|>|a+b|
    Em cảm ơn trước.

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.