Cách xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng

Đối với bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thì việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng là điều rất quan trọng. Đây là một trong những điều kiện giúp cho chúng ta có thể tìm được phương trình đường thẳng, tuy nhiên cũng không phải là yêu cầu bắt buộc phải có nó thì mới viết được phương trình đường thẳng. Chúng ta còn có những cách khác nữa và tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.

Trong bài giảng này thầy sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về vectơ pháp tuyến của đường thẳng, đồng thời chỉ ra cho các bạn biết một số trường hợp có thể gặp để xác định được vectơ pháp tuyến.

Bài giảng: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Vectơ pháp tuyến là gì ?

Vectơ pháp tuyến: Vectơ \vec{n} khác vectơ - không, có giá vuông góc với đường thẳng d gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.
Rõ ràng là :
  • Nếu \vec{n} là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì k.\vec{n} ( với k khác 0) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
  • Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm nằm trên nó và một vectơ pháp tuyến của nó

Cụ thể như sau:

Nếu  \vec{n} =(1;2) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì \vec{n_1} =(2;4) =2\vec{n}; \vec{n_2} =(-2;-4) =-2\vec{n}; \vec{n_3} =(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}) =\dfrac{1}{4}\vec{n}... cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Tham khảo bài giảng:

2. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Dạng 1:

Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng tổng quát ax+by+c=0 với a^2+b^2\neq 0 thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ là \vec{n}=(a;b)

Dạng 2:

Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng phương trình tham số \left\{\begin{array}{ll}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right. t\in Z; (a^2+b^2\neq 0)

hoặc ở dạng phương trình chính tắc \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}   (a\neq 0, b\neq 0) thì ta tìm vectơ pháp tuyến thông qua vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng trong trường hợp này là \vec{u}=(a;b), khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ là \vec{n}=(-b;a) hoặc \vec{n}=(b;-a)

Dạng 3:

Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với một đường thẳng d' có phương trình: ax+by+c=0 thì ta làm như sau:

  • Xác định vectơ pháp tuyến của d' là: \vec{n}(a;b)
  • Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d' là: \vec{u}=(-b;a) hoặc \vec{u}=(b;-a)
  • Vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau nên vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của d chính là vectơ chỉ phương \vec{u}=(-b;a) của d'

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thường liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, liên quan tới các đường trong tam giác như: đường cao, đường trung trực, hai đường phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc, đường tiếp tuyến với đường tròn. Tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông

Dạng 4:

Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng d biết d song song với một đường thẳng d' có phương trình: ax+by+c=0 thì ta làm như sau:

  • Xác định vectơ pháp tuyến của d' là: \vec{n}(a;b)
  • Vì 2 đường thẳng song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng này chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của d chính là vectơ \vec{n}=(a;b) của d'

Đường thẳng song song với đường thẳng thường liên quan tới các đường như: đường trung bình trong tam giác, đường trung bình trong hình thang, tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông, tính chất từ vuông góc tới song song.

Xem thêm: Tọa độ trong mặt phẳng

Đó là những phương pháp cơ bản mà chúng ta thường gặp trong việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng khi viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Bài viết này chỉ là tập hợp lại kiến thức rơi vãi ở một số nơi, giúp các bạn có cái nhìn tổng quan hơn trong việc đi tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Điều mà nhiều bạn rất cần để có cái nhìn tổng quan hơn.

 

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

31 Thảo luận

  1. loan says:

    cho tam giác ABC với A(4:4),B(-2;12),C(-10:6).

    a) viết phương trình 3 đường trung tuyến của tam giác.

    b) tìm trung điểm N của AB.

  2. duẩn says:

    ccho em hoi la cấu trúc đề thi năm nay như nào vậy thầy

  3. Tina says:

    câu hỏi em hơi mơ hồ tí: giả sử em cần tìm pt đường thẳng thì em nên đặt ẩn (a,b) là vtpt khi bài có những dữ kiện gì?

    • Thầy cũng thấy mơ hồ quá nên khó trả lời em. Tùy thuộc vào từng bài toán đề cho để tìm thôi. Dựa vào tính chất song song, vuông góc, tính chất các đường, các hình...để suy luận. Em hiểu vecto pháp tuyến là gì thì khi làm bài sẽ biết cách lựa chọn hướng làm.

  4. linh says:

    Thầy cho e hỏi.. Cách tìm vtpt của ĐT qua cos với 1 vtpt cho trước

  5. linh says:

    Thầy cho e hỏi cách tìm vtpt của đường thẳng qua cos và 1 vtpt cho trước đc ko ak!! E cam ơn

    • em gọi vectơ pháp tuyến cần tìm có dạng: \vec{n}(a;b)

      Sử dụng công thức tính góc: cos{(\vec{n_1}.\vec{n_2})}=\dfrac{|\vec{n_1}.\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|.|\vec{n_2}|}

      Từ đây em tìm được 1 phương trình bậc 2 có 2 ẩn là a và b, biến đổi để đưa về phương trình ẩn \dfrac{a}{b}
      Giải phương trình này, sau đó cho b 1 giá trị bất kì để tìm a và ngược lại.

  6. Lê Trung Hiếu says:

    Thầy giúp e bài này với ạ.
    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), tan OBC =2. Viết phương trình tham số của đường thẳng BC

  7. QMaZic says:

    Thầy ơi cho em hỏi nhìn vào dấu hiệu nào của bài toán để biết khi nào là dùng vtpt , khi nào dùng vtcp để viết phương trình đường thẳng

  8. QMaZic says:

    Thầy ơi làm giúp em bài này với ạ

    Trong không gian oxyz cho 2 điểm A(4,-4,3) , B(1,3,-1) . Viết  phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm A,B và cắt hai mặt phẳng (P) : x+y+z+2 =0 và         (Q) : x-y-z-4 =0 theo 2 giao tuyến là 2 đường tròn có bán kính bằng nhau

    Thầy ơi giải chi tiết hộ em cái nha ...

    • Mặt cầu (S) cắt (P) và (Q) theo 2 giao tuyến là 2 đường tròn có bán kính bằng nhau => d_{I,(P)}=d_{I,(Q)} (1)
      Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu => IA=IB (2)
      Lập phương trình mặt phẳng trung trực (R) của đoạn AB =>I\in (R) (3)
      Từ (1) (2) (3) => tọa độ tâm I

  9. Anh2k1 says:

    thầy ơi , cho phương trình đường thẳng AB là ( 2;6 ) làm thế nào để tính đc vtcp ạ ? Thầy giúp e hiểu rõ hơn đc k ạ

  10. Anh2k1 says:

    Cho tam giác ABCABC có A(−6,−3),B(−4,3),C(9,2)A(−6,−3),B(−4,3),C(9,2). Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Đề đây thầy ạ

  11. Quy says:

    Vtpt của oy là gì ạ

  12. Dat says:

    vecto phap tuyen la gi ?
    vecto chi phuong la gi?
    thầy cho em biet voi ạ

  13. JL says:

    Thầy cho e hỏi VTPT (1;1;2), v VTCP là gì ạ khi trong hệ tọa độ Oxyz không gian

  14. Nhật says:

    Thầy giải giúp em chi tiết bài này với
    Cho A(0;1;2) và mp (P):2x-y+1
    Đường thẳng d1:x/2 = (y-1)=(z+1)/-1
    d2:x=1+t
    y=-1-2t
    z=2+t
    d3:(x-1)/3=(y+2)/-1=z/-2
    a)lập pt đt d4 cắt d1 và d2
    b)lập pt đt d5 vuông góc với d1 tại giao điểm của d1 và (P)
    c)lập pt đt d6 qua A,song song (P),cắt d2

    Thầy hướng dẫn chi tiết giúp e nha . Mấy chỗ em k thông

  15. Nguyễn Đình Khang Hy says:

    Thầy ơi! Bài này con làm k đc. Thầy giúp con với.
    Cho tg ABC, pt cạnh BC:(x-1)/(-1)=(y-3)/2
    pt 2 trung tuyến:BM: 3x+y-7=0 và CN: x+y-5=0
    Viết pt cạnh AC và AB

    • Em tìm tọa độ của điểm B và C là giao của 2 trung tuyến với BC
      Tìm trung điểm P của BC
      Tìm tọa đô trọng tâm G
      Tìm tọa độ của A dựa vào G và P (t/c trọng tâm)
      Viêt ptđt AB và Ac

  16. thủy says:

    Thưa thầy cho em hỏi là: nếu như biết vectơ pháp tuyến n(a;b) và cần suy ra vectơ chỉ phương thì làm sao mình biết trong trường hợp nào u(-b;a) và trường hợp nào u(b;-a) ?

  17. Thanh says:

    Đọc xog là hiểu liền (y) rất rất tốt

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.