Cách xác định hiệu của hai vectơ

Trong bài giảng hôm nay thầy gửi tới các bạn cách xác định hiệu của hai vectơ, của nhiều vectơ. Cũng như trong bài giảng trước, để xác định được hiệu của hai vectơ các bạn cũng phải hiểu rõ những khái niệm, quy tắc liên quan tới hiệu hai vectơ.

Tham khảo bài giảng:

1. Hiệu của hai vectơ

a. Vectơ đối

Cho vectơ \vec{a}. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với \vec{a} được gọi là vectơ đối của \vec{a}, kí hiệu là -\vec{a}.

Mỗi vectơ đều có vectơ đối.

Ví dụ 1:

Vectơ đối của \vec{AB}-\vec{AB} hay là \vec{BA} nghĩa là -\vec{AB}=\vec{BA}

Vectơ đối của \vec{MN}-\vec{MN} hay là \vec{NM} nghĩa là -\vec{MN}=\vec{NM}

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm vectơ đối của vectơ AB và AD?

Hướng dẫn:

hinh binh hanh ABCD tam o

Tìm vectơ đối của vec tơ AB:

Theo ví dụ 1 các bạn sẽ biết được ngay một vectơ đối của \vec{AB} chính là \vec{BA}.

Nhưng với bài toán này thì liệu còn vectơ đối nào của \vec{AB} hay không? Các bạn xem lại khái niệm vectơ đối ở trên thì thấy rằng cứ vectơ nào có cùng độ dài nhưng ngược hướng với \vec{AB} thì sẽ là vectơ đối của \vec{AB}.

Vì ABCD là hình bình hành nên |\vec{AB}|=|\vec{CD}| nhưng hướng của chúng lại ngược nhau. Vậy \vec{CD} là một vectơ đối của \vec{AB}.

Tới đây việc tìm vectơ đối của \vec{AD} là tương tự. Như vậy các bạn hoàn toàn có thể tìm được 2 vectơ đối của \vec{AD} là \vec{DA} và \vec{CB}

b. Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ \vec{a} và \vec{b}. Ta gọi hiệu của hai vectơ \vec{a} và \vec{b} là vectơ \vec{a}+(-\vec{b}), kí hiệu \vec{a}-\vec{b}

Như vậy: \vec{a}-\vec{b}\vec{a} +(-\vec{b})

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ

Chú ý: Tổng của hai vectơ đối nhau thì bằng vectơ-không: \vec{a}(-\vec{a}) =\vec{0}

c. Quy tắc trừ vectơ

Với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có: \vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}

Các bạn để ý thấy đối với quy tắc trừ vectơ ở trên thì điểm đầu của hai vectơ là giống nhau (cùng là điểm A). Còn đối với quy tắc cộng vectơ thì điểm cuối của vectơ này là điểm đầu của vectơ kia. Các bạn nhớ để ý kĩ hai quy tắc cộng trừ này nhé. Quy tắc trừ này là một cách xác định hiệu của hai vectơ.

Quy tắc trên có được là do suy ra từ quy tắc cộng vectơ. . Thầy có thể chứng minh cho các bạn thấy.

Chứng minh:

\vec{AB}-\vec{AC}

= \vec{AB}+\vec{CA}         (vì theo vectơ đối thì -\vec{AC} =\vec{CA})

= \vec{CA} +\vec{AB}         (t/c giao hoán)

= \vec{CB}     (quy tắc 3 điểm)   (đfcm)

Như vậy thầy đã gửi tới các bạn toàn bộ lý thuyết về hiệu của hai vectơ và một số ví dụ giải thích. Để củng cố thêm cho các bạn cách áp dụng phép trừ vectơ vào việc giải toán thì chúng ta cùng nghiên cứu một vài bài tập sau đây.

2. Bài tập xác định hiệu của hai vectơ

Bài 1 (sgk hình học 10 -trang 12): Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ \vec{AB}+\vec{BC}\vec{AB}-\vec{BC}.

Hướng dẫn giải:

tam giac deu phep tru vecto

Tính đồ dài \vec{AB}+\vec{BC}:

Ta có: \vec{AB}+\vec{BC} =\vec{AC} do đó |\vec{AB}+\vec{BC}| =|\vec{AC}| =a

Tính đồ dài \vec{AB}-\vec{BC}:

Các bạn để ý thì thấy đây là hiệu của hai vectơ nhưng hai vectơ này không có chung điểm đầu nên ta không áp dụng được quy tắc. Vậy có cách nào xác định hiệu của hai vectơ trên hay không? Chắc chắn là phải có rồi. Ở đây ta cần biến đổi một chút để đưa về đúng dạng của hiệu hai vectơ hoặc tổng của hai vectơ, sau đó áp dụng quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm hoặc quy tắc hình bình hành để tính.

Ta có: \vec{AB}-\vec{BC} =-\vec{BA}-\vec{BC}-(\vec{BA}+\vec{BC})

Tới đây ta được tổng của hai vectơ mà có chung điểm đầu là B. Vậy ta sẽ nghĩ tới sử dụng quy tắc trung điểm.

Gọi I là trung điểm của AC, khi đó ta có: \vec{BA}+\vec{BC}2\vec{BI}

\Rightarrow \vec{AB}-\vec{BC}=-(\vec{BA}+\vec{BC})=-2\vec{BI}=2\vec{IB}

Vậy:  |\vec{AB}-\vec{BC}||2\vec{IB}| = 2|\vec{IB}|. Tới đây ta sẽ đi tính độ dài của vectơ |\vec{IB}|.

Vì tam giác ABC đều nên BI\bot AC. Mà I là trung điểm AC nên IC=\dfrac{1}{2}AC =\dfrac{a}{2}

Xét tam giác vuông BIC có: BI=\sqrt{BC^2-IC^2} =\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}} =a\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Vậy: |\vec{AB}-\vec{BC}| =2|\vec{IB}| =2.a\dfrac{\sqrt{3}}{2} =a\sqrt{3}

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:

a. \vec{CO} -\vec{OB} =\vec{BA}                              b. \vec{AB} -\vec{BC} =\vec{DB}

c. \vec{DA} -\vec{DB} =\vec{OD} -\vec{OC}               d. \vec{DA} -\vec{DB} +\vec{DC} =\vec{0}

Hướng dẫn giải:

hinh binh hanh ABCD tam o

a. Chứng minh \vec{CO} -\vec{OB} =\vec{BA}

Ở đây chúng ta sẽ đưa về hiệu của hai vectơ có chúng điểm đầu là O.

Ta có: \vec{CO} -\vec{OB} =\vec{OA} -\vec{OB}   (vì ABCD là hình bình hành =>\vec{OA} =\vec{CO})

= \vec{BA} (quy tắc trừ vectơ)

b. Chứng minh \vec{AB} -\vec{BC} =\vec{DB}

Ở đây chúng ta sẽ đưa về hiệu của hai vectơ có chúng điểm đầu.

Ta có: \vec{AB} -\vec{BC} =\vec{AB} -\vec{AD}    (vì ABCD là hình bình hành => \vec{BC}=\vec{AD})

= \vec{DA}  (quy tắc trừ vectơ)

c. Chứng minh \vec{DA} -\vec{DB} =\vec{OD} -\vec{OC}

Ta có:

\vec{DA} -\vec{DB} =\vec{BA}  ( quy tắc trừ vectơ)

\vec{OD} -\vec{OC} =\vec{CD}  ( quy tắc trừ vectơ)

\vec{BA} =\vec{CD}  ( vì ABCD là hình bình hành)

Do đó ta sẽ có: \vec{DA} -\vec{DB} =\vec{OD} -\vec{OC}

d. Chứng minh \vec{DA} -\vec{DB} +\vec{DC} =\vec{0}

Ta có: \vec{DA} -\vec{DB} +\vec{DC} =(\vec{DA} -\vec{DB}) +\vec{DC}

= \vec{BA} +\vec{DC}   ( quy tắc hiệu hai vectơ)

=\vec{0}

Vì ABCD là hình bình hành nên \vec{BA} \vec{DC} là hai vectơ đối =>\vec{BA} +\vec{DC} =\vec{0}

3. Lời kết

Qua một số ví dụ minh họa cụ thể giải thích cho các quy tắc, đồng thời với hai bài tập cơ bản trên hy vọng các bạn sẽ hiểu rõ hơn các quy tắc về hiệu của hai vectơ và cách dùng nó vào việc xác định hiệu của hai vectơ. Nếu có gì chưa rõ hoặc cần trao đổi thêm với thầy thì cứ mạnh dạn gõ vào khung bình luận phía dưới nhé. Chúc các bạn học tập tốt.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1. Cho hai điểm A, B phân biệt

a. Tìm tập hợp điểm O sao cho \vec{OA}=\vec{OB}

b. Tìm tập hợp điểm O sao cho \vec{OA}=-\vec{OB}

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. CMR  \vec{DA}-\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{0}

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

21 Thảo luận

  1. Phương Minh says:

    Thầy ơi, phiền thầy chỉ cho con sự khác nhau giữa độ dài của vectơ và độ lớn của vectơ, con không hiểu nó khác nhau hay giống nhau. Con còn thắc mắc một điều nữa, khi cộng trừ vectơ như vậy, con thấy hình như kết quả về độ dài/độ lớn của nó không đúng phải không thầy, vậy cộng trừ vectơ là dựa trên điều gì ạ ( độ dài, khoảng cách hay sao ạ ? ). Con chân thành cám ơn thầy, những bài giảng của thầy rất hay và bổ ích ạ.

    • Độ dài vecto hay độ lớn vecto là giống nhau em nhé.Vecto là một đoạn thẳng có hướng vì vậy khi cộng trừ vecto ta phải tuân thủ theo quy tắc riêng của vecto chứ không cộng trừ như các biểu thức số được vì nó còn liên quan tới chiều của vecto.
      Độ dài của vecto là độ dài của đoạn thẳng chứa vecto đó. Tuy nhiên khi cộng trừ vecto không thể lấy trực tiếp độ dài của chúng cộng trừ cho nhau đc mà phải biến đổi theo quy tắc trước đã.

  2. Nghi says:

    Thầy ơi cho con hỏi là với hiệu hai vecto ta có thể biến đổi chúng thành tổng rồi tính như bình thường được không ạ ?

     

  3. KimLena says:

    Thầy giúp em bài này ạ 🙂

  4. a. \vec{BI}=\vec{BA}+\vec{AI}=-\vec{AB}+\dfrac{3}{4}\vec{AC}=\dfrac{3}{4}\vec{AC}-\vec{AB} (đfcm)
    b. Theo bài ra ta có: \vec{BJ}=\dfrac{1}{2}\vec{AC}-\dfrac{2}{3}\vec{AB} \Rightarrow \dfrac{3}{2}\vec{BJ}=\dfrac{3}{2}(\dfrac{1}{2}\vec{AC}-\dfrac{2}{3}\vec{AB})\Rightarrow \dfrac{3}{2}\vec{BJ}=\dfrac{3}{4}\vec{AC}-\vec{AB} \Rightarrow \dfrac{3}{2}\vec{BJ}=\vec{BI} \Rightarrow 3 điểm B, I, J thẳng hàng.
    c. Xác định điểm J: Vì 3 điểm B, I, J thẳng hàng và \dfrac{3}{2}\vec{BJ}=\vec{BI} hay \vec{BJ}=\dfrac{2}{3}\vec{BI} nên trên đoạn BI ta lấy điểm J sao cho BJ=\dfrac{2}{3}BI

  5. khánh says:

    Thầy cho con hỏi là  quy tắc 3 điểm được sử dụng như thế nào ạ

    Thầy cho con hỏi là  quy tắc 3 điểm được sử dụng như thế nào ạ

     

     

    • Quy tắc 3 điểm được sử dụng trong việc xác định hiệu của hai vecto và tổng của hai vecto. Em xem kĩ lại quy tắc về tổng và hiệu của hai vecto nhé.

      Có bài tập muốn hỏi, cứ mạnh dạn post lên em nhé.

  6. Xuan Cuong says:

    thầy ơi cho em hỏi quy tắc hình bình hành có thể áp dụng vào hình vuông được không?

  7. khánh says:

    Thầy có thể chỉ cho e cách phân tích 2 vecto thanh nhiều loại vecto làm thế nào ạ. E cảm ơn thầy nhiều ạ

     

  8. Hưng says:

    thầy ơi . Bài trên em không hểu phần 2 bài tập 1 vectơ  AB -vectơ BC đó thầy tại sao khi cộng vectơ BA với BC lại = 2 BI. BI sao lại bằng BA được ạ . Thầy giải đáp giùm em đi ạ

    • Gọi I là trung điểm của AC, khi đó ta có: \vec{BA}+\vec{BC} = 2\vec{BI}. Đây là quy tắc trung điểm dược suy ra từ quy tắc hình bình hành em nhé.

      \Rightarrow \vec{AB}-\vec{BC}=-(\vec{BA}+\vec{BC})=-2\vec{BI}=2\vec{IB}. Cái này thì thay vào rồi biến đổi thôi.
      BI=BA ở đâu vậy em?

  9. Hưng says:

    Dạ em hiểu rồi. Cám ơn thầy. em còn điều chưa hiểu thầy ơi. Trong sách bài tập lớp 10 nó nói là :" cho hình bình hành ABCD rồi nó suy ra vectơ AB = vectơ DC ; vectơ BC = vectơ AD . Tại sao laị như vậy thầy. Đáng lẽ ra theo tính chất hiệu của 2 vectơ thì nó hoàn toàn trái nhau. Vectơ AB phải = vectơ CD, còn vectơ BC phải = vectơ DC chứ thầy". Em không hiểu chỗ đó. Thầy giúp em trả lời được không thầy.

  10. Hưng says:

    em cám ơn thầy. Nhưng thầy ơi trong hình nó không để thiếu dấu mũi tên vậy mình có thể từ đó tìm ra các dấu mũi tên đó rồi mình làm được không ạ. Chẳng hạn như trong hình bình hành của thầy ở trên chỉ để 3 dấu : từ A qua B, từ A qua D, từ A qua O vậy mình có thể thêm vào là từ D qua C, từ B qua C được không thầy, với lại sử dụng tính chất hình bình hành đó thầy ở trên nó chỉ ghi vectơ AB + vectơ AD  = vectơ  AC thôi, vậy em có thể sử dụng thành vectơ  CD+vectơ CB thành vectơ CA được không thầy. Em đang phân vân chỗ đó. em không hiểu được.Thầy có thể giúp em trả lời những thắc mắc của em được không thầy.

    • Trong hình không nhất thiết phải vẽ chiều của vecto, thầy vẽ để cho các em dễ nhìn và hình dung thôi. Nhìn vào biểu thức là người ta hiểu rồi. Vẽ nhiều vào rối hình em à. Quy tắc hình bình hành có thể biến đổi linh động cho các hình và các điểm em nhé. Em đọc kĩ quy tắc hình bình hành đi. Tổng vecto 2 cạnh kề hình bình hành thì bằng vecto đường chéo.

  11. Hưng says:

    vậy trong hình không có hình mũi tên mình cũng có thể viết ra vectơ và vectơ đối của nó phải không thầy.

  12. Hưng says:

    thầy ơi thầy giải giùm em bài này được không thầy. mấy cái bài toán liên quan về tâm tỉ cự nó khó quá em không làm được. thầy giải tỉ mỉ giùm em nha thầy.' cho tam giác ABC có 3 cạnh BC=a. AB=c. AB=c. gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. CMR I là tâm tỉ cự của hệ 3 điểm A,B,C ứng với bộ số a,b,c

  13. Thắng says:

    Cảm mơn thầy. Qua bài em hiểu đc rất nhiều

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *