Cách tìm điểm cố định của họ đường cong Cm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số là một dạng toán rất đa dạng. Trong chuyên đề này thầy cũng có khá nhiều video bài giảng về lý thuyết cũng như bài tập từ cơ bản tới nâng cao. Hôm nay thầy gửi tới các bạn một dạng toán nữa trong bài toán khảo sát hàm số đó là: Tìm điểm cố định của họ đường cong (C_m). Đây là một dạng toán hay nhưng lại không đến nỗi khó lắm. Để đánh giá được chính xác nhận xét này của thầy các bạn hãy xem kỹ bài giảng của thầy nhé.

Xem thêm bài giảng:

1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong (C_m):

Cho họ đường cong (C_m) có phương trình y=f(x,m), trong đó m là tham số. Hãy tìm những điểm cố định khi m thay đổi?

Đây là bài toán rất thông dụng và là một vấn đề trong bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Phương pháp giải:

Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị của (C_{m}) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị (C_m) cũng thay đổi theo hai trường hợp.

- Hoặc mọi điểm của (C_m) đều di động.

- Hoặc có một hoặc vài điểm của (C_m) đứng yên khi m thay đổi.

Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm cố định của họ đường cong (C_m). Đó là những điểm mà mọi đường (C_m) đều đi qua với mọi giá trị của m.

Nếu A(x_0;y_0) là điểm cố định của đồ thị (C_m) thì y_0=f(x_0,m) thỏa mãn với mọi m. Điều này có nghĩa là phương trình y_0=f(x_0,m) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Vậy để tìm các điểm cố định của họ đường cong (C_m) ta thực hiện các bước sau đây:

1.  Đưa phương trình y=f(x,m) về dạng phương trình theo ẩn m, có dạng như sau:

Am + B =0 hoặc Am^2 + Bm + C =0

2.  Cho các hệ số bằng 0 ta được hệ phương trình: \left\{\begin{array}{ll}A=0\\B=0\end{array}\right. hoặc \left\{\begin{array}{lll}A=0\\B=0\\C=0\end{array}\right.

3.  Giải hệ phương trình: \left\{\begin{array}{ll}A=0\\B=0\end{array}\right. hoặc \left\{\begin{array}{lll}A=0\\B=0\\C=0\end{array}\right.  (*)

- Nếu hệ phương trình (*) vô nghiệm thì (C_m) không có điểm cố định.

- Nếu hệ phương trình (*) có nghiệm (x_0;y_0) thì điểm có tọa độ (x_0;y_0) là điểm cố định của (C_m) .

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số y=\dfrac{x^2-2(m+1)x-m+2}{x+1}, (C_m). Tìm điểm cố định của họ đường cong (C_m).

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: D=R\{-1}

Gọi tọa độ điểm AA(x;y). A là điểm cố định của họ đường cong (C_m) khi và chỉ khi phương trình sau:

y=\dfrac{x^2-2(m+1)x-m+2}{x+1}

 \Leftrightarrow x^2-2(m+1)x-m+2 = (x+1)y

 \Leftrightarrow (-2x-1)m +x^2-2x+2-xy-y=0       (1) 

nghiệm đúng với mọi giá trị của m.

Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của m khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

\left\{\begin{array}{ll}-2x-1=0\\x^2-2x+2-xy-y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x=-\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{13}{2}\end{array}\right.

Dễ nhận thấy x=-\dfrac{1}{2} \neq -1 nên thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy A(-\dfrac{1}{2};\dfrac{13}{2}) là điểm cố định của họ đường cong (C_m)

diem co dinh cua ho duong cong 1

Qua một ví dụ trên đây các bạn thấy việc xác định điểm cố định của họ đường cong không phải là khó. Bài tập trên là một dạng phân thức, để hiểu rõ hơn thì thầy và các bạn cùng tìm hiểu thêm một bài tập nữa về hàm đa thức.

Bài tập 2: Cho hàm số y=x^3-(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)  (C_m). Tìm điểm cố định của họ đường cong (C_m).

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: D=R

Gọi tọa độ điểm AA(x;y). A là điểm cố định của họ đường cong (C_m) khi và chỉ khi phương trình sau:

y=x^3-(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)

 \Leftrightarrow x^3-mx^2-x^2-2m^2x+3mx-2x+4m^2-2m-y=0

 \Leftrightarrow (-2x+4)m^2+(-mx^2+3mx-2m) + x^3-x^2-2x-y=0

 \Leftrightarrow (-2x+4)m^2-(x^2-3x+2)m + x^3-x^2-2x-y=0

 \Leftrightarrow (-2x+4)m^2 -(x-1)(x-2)m+x^3-2x-x^2-y=0       (1) 

nghiệm đúng với mọi giá trị của m.

Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của m khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

\left\{\begin{array}{lll}-2x+4=0\\-(x-1)(x-2)=0\\x^3-x^2-2x-y=0\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}x=2\\\left[\begin{array}{ll}x=1\\x=2\end{array}\right.\\x^3-x^2-2x-y=0\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}x=2\\x^3-x^2-2x-y=0\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}x=2\\x^3-x^2-2x-y=0\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}x=2\\y=0\end{array}\right.

Vậy A(2;0) là một điểm cố định của họ đường cong (C_m).

diem co dinh cua ho duong cong

Bạn nên xem: Cách phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp

4. Lời kết

Đọc tới đây thì chắc chắn các bạn sẽ hiểu (trừ những bạn chưa hiểu) về phương pháp tìm điểm cố định của họ đường cong. Phương pháp là khá rõ ràng, công việc của các bạn chỉ là rèn luyện kỹ năng tính toán và ôn luyện thêm bài tập thôi. Dưới đây là các bài tập về nhà, các bạn hãy tham khảo và hoàn thiện cho thầy nhé.

Bài tập 3: Tìm điểm cố định của họ đường cong y=\dfrac{(m-1)x+m+2}{x+m+2}  (C_m).

Đs: A(-4;-3)B(0;1)

Bài tập 4: Tìm điểm cố định của họ đường cong y=x^3+mx^2-m-1  (C_m)

Đs: A(1;0)B(-1;-2)

Mọi trao đổi các bạn hãy gõ vào hộp bình luận phía dưới nhé.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

41 Thảo luận

  1. Vy says:

    y=((m-4) - 4)/x-m.
    Thì đưa về dang Am B=0 Lam sao ạ?

    • hoang van si says:

      quy đồng x-m lên
      nhân chéo x-m vào y
      ta sẽ tìm đk x=1 x=-1
      thay vào tìm đk y

  2. Chi says:

    Cho em hỏi nếu là tìm các điểm cố định không đi qua họ đường cong (Cm) thì xét các hệ số A=0 hoặc B=o hoặc C=0 đúng không ạ ?

    • Nếu tìm điểm cố định mà (C_m) không đi qua thì sao mà liên quan tới hệ số A, B, C của (Cm) được hả em? Mà có bài toán nào cho đồ thị (Cm) rồi yêu cầu tìm điểm cố định mà (Cm) không đi qua đâu em.

  3. Linh says:

    Thưa thấy cho em hỏi tại sao ở bt 2 không lấy nghiệm x=1 ạ?

    • Em để ý cái ngoặc dấu và to nhất, các giá trị trong ngoặc đó phải thỏa mãn đồng thời 2 biểu thức. Mà x=2 thỏa mãn cả hai biểu thức, còn x=1 chỉ thỏa mãn biểu thức thứ 2. Do vậy ta không lấy giá trị x=1

  4. myangel says:

    phương trình có 2 nghiệm x=-1 và x=1 với txd D=R thì lấy nghiệm nào ạ

  5. Tùng says:

    Vậy nhứng hàm không phải là hàm phân thức hoặc đa thức thì làm thế nào hả thầy. Ví dụ y=(x-1)(\sqrt{x^2+m}+m\sqrt{x^2+1)}

    • Bài này em giả sử A(x_0;y_0) là điểm cố định. khi đó y_0=f_{(x_0)}. Em lấy đạo hàm 2 vế theo m sẽ được: 0=(x_0-1).B_{(m)} với B_{(m)} là một biểu thức sau đạo hàm. Khi đó ta có x_0=1 \Rightarrow y_0=0

      • Tùng says:

        Biểu thức sau đạo hàm  $(x-1)\left( \dfrrac{m}{2\sqrt{x^2+m}}+\sqrt{x^2+1}\right)$ thì làm sao được hả thầy.  Mà bài này là của lớp 10 mà ta không dùng đạo hàm.

         

      • Tùng says:

        Biểu thức sau đạo hàm  (x-1)\left(\dfrac{m}{2\sqrt{x^2+m}}+\sqrt{x^2+1}\right) thì làm sao được hả thầy.  Mà bài này là của lớp 10 mà ta không dùng đạo hàm.

         

        • A(x_0;y_0) là điểm cố định. ta có y_0=f_{(x_0)}. thỏa mãn với mọi giá trị của m.

          Cho m=0 ta có: y_0=(x_0-1)\sqrt{x^2_0} (1)

          Cho m=1 ta có: y_0=(x_0-1)(\sqrt{x^2_0+1}+\sqrt{x^2_0+1})=2(x_0-1)\sqrt{x^2_0+1} (2)

          Từ (1) và (2) ta có: (x_0-1)\sqrt{x^2_0} = 2(x_0-1)\sqrt{x^2_0+1}\Leftrightarrow (x_0-1)(\sqrt{x^2_0}-2\sqrt{x^2_0+1})=0\Leftrightarrow x_0=1

          Cái ngoặc còn lại luôn nhỏ hơn 0.

          Với x_0=1\Leftrightarrow y_0=0. Vậy A(1;0)

          • Tung says:

            Bài này TXĐ còn phụ thuộc vào m nữa mà. Nếu m<-1 thì hàm số đâu có xác định tạ x=1. Vậy đâu có  điểm cố định chứ.

             

  6. Tùng says:

    (x-1)\left(\dfrac{m}{2\sqrt{x^2+m}}+\sqrt{x^2+1}\right). Biểu thức sau đạo hàm nư này thì làm sao được. Mà đây là toán lớp 10 mà

  7. Đức Thọ says:

    Thầy ơi nếu dạng các Parabol luôn tiếp xúc với nhau tại 1 điểm cố định thì cách giải như thế nào ạ cách giải lớp 10

     

  8. hồng lĩnh says:

    thầy ơi cho họ đường tròn (Cm) x^2 + y^2 - (m-2)x +2my -1 =0 C/M họ (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định khi m thay đổi làm thế nào ạ

    • Em biến đổi về dạng:
      x^2+y^2-mx+2x+2my-1=0\Leftrightarrow (-x+2y)m+x^2+y^2+2x-1=0
      \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}-x+2y=0\\x^2+y^2+2x-1=0\end{array}\right.
      Giải hệ trên sẽ tìm đc 2 điểm thỏa mãn

  9. nhiên says:

    còn tìm tham sô m để họ đường cong đã cho là đường tròn thì phương pháp làm sao ạ thưa thầy?

  10. starbuck says:

    cách chứng minh vs mọi m thì đthẳg (d) y=m(x+1) +2 và đồ thị (c) y=x^3-3x luôn cắt nhau tại điểm M cố định và tìm m để (d) cắt (c) tại 3 điểm pb M N P sao cho tiếp tuyến tại N P vuông góc với nhau

    • Em lập pt hoành độ giao điểm của d và (C): x^3-3x=mx+m+2 (1)
      đưa pt này về theo ẩn m, từ đó tìm đc điểm cố định (tương tự cách làm trong bài giảng)
      Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M,N,P thì (1) có 3 nghiệm phân biệt.
      Biến đổi (1) thành (x-1).g(x)=0 (2) với (gx) là pt bậc 2
      Khi đó (1) có 3 nghiệm phân biệt thì g(x) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
      Để tiếp tuyến tại N, P vuông góc với nhau thì f'(N).f'(P)=-1
      Với M, N là nghiệm của g(x)

  11. fffff says:

    chứng minh 1 đth cắt đường công tại 1 điểm cố định

  12. Ánh says:

    Thầy ơi tại sao Am + B = 0 thì A và B phải bằng 0 ạ?

  13. thùy says:

    thầy ơi giúp em với
    cho (cm)=((3m+1)x-m^2+m)/(x+m)
    tìm những điểm cố định trên đt x=1 sao cho không có đò thị nào đi qua hàm số

  14. Nhi says:

    nếu kêu tìm m để đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định thì s v thầy?

  15. Thy says:

    thầy giải giúp em bài tập 3 với!!!

  16. Nhài says:

    Cảm ơn bài viết của thầy ạ

  17. trân thái says:

    thầy ơi chỉ cho em cách biến đổi ạ

  18. Bài này em cho m với 3 giá trị rồi giải tìm giao điểm ba đồ thị đó được không thầy

    • Đã đúng là phải đúng với mọi m, còn thử như vậy thì chỉ đúng với 1 số th cụ thể. Giống như bài toán quy nạp trong chương trình toán lớp 11 đó em.

  19. trần văn huy says:

    chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số y=x2+mx=+1/x-1 luôn cắt trục trung tại một điểm cố định. tìm tọa độ điểm thầy giúp em giải bài này. thanhks thầy

    • bài này em có thể làm theo hướng dẫn của thầy trong bài giảng, rất cụ thể mà em. Em có thể thấy với bài toán này đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung là A(0;-1). Em có thể cho ngay x=0 thì tìm đc y=1 (hoàn toàn không phụ thuộc vào m)

  20. huy says:

    chứng tỏ rằng với mọi m khác cộng trừ 1 thì hàm số y = 1-mx/x-m luôn đi qua hai điểm cố điịnh A và B xác định tọa độ A VÀ B thầy giải giúp em bài này em cảm ơn

  21. Nguyễn Thành Thiện says:

    (Cm) y=1/3 x^3 - mx^2 -x + m +2/3
    a/ Tìm điểm cố định của (Cm)
    b/ Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm x1, x2, x3 thỏa mãn x1^2 + x2^2 + x3^2 > 15
    Giúp em với ạ

    • Ý a em cô lập m như trong bài giảng nhé.
      ý b em lập pt hoành độ giao điểm của (Cm) với trục ox được: x^3-3mx^2-3x+3m+2=0\Leftrightarrow (x-1)[x^2+(1-3m)x-2-3m]=0
      Từ đây giả sử x1=1. x_2 và x_3 là nghiệm của pt bậc 2 còn lại. Em thay vào x1^2 + x2^2 + x3^2 và biến đổi x_2, x_3 theo viet để áp dụng đc vào ptb2. từ đó sẽ tìm đc m

  22. Nguyễn Thành Thiện says:

    (Cm) y=1/3 x^3 - mx^2 -x + m +2/3
    a/ Tìm điểm cố định của (Cm)
    b/ Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm x1, x2, x3 thỏa mãn x1^2 + x2^2 + x3^2 > 15
    Thầy giúp em với

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.