Cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne hay

Khi nói tới lược đồ Hoocne (Hoocner, Hocner hay là Horner, cái tên không rõ cách gọi lắm ) hầu hết các bạn học sinh trong chúng ta đều thấy cái tên này rất quen thuộc. Vì Hoocner có rất nhiều ứng dụng trong việc giúp ta giải nhanh các bài toán. Một ứng dụng hay mà thầy sẽ gửi tới các bạn trong bài viết này chính là: Cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne.

Khi nói tới việc chia đa thức các bạn đã được học rất kỹ trong chương trình toán trung học cơ sở ở lớp 8 với phương pháp chia bình thường, tuy nhiên nếu áp dụng phương pháp sơ đồ Hoocne các bạn sẽ có một cách tính nhanh tuyệt vời vừa tiết kiệm thời gian mà lại chính xác.

Luoc do hoocner - thumbnail

Phương pháp dùng lược đồ Hoocne

Lược đồ Hoocner dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức f_{(x)} cho đa thức x-\alpha, khi đó ta thực hiện như sau:

Giả sử cho đa thức f_{(x)}=a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}.x^1+a_n. Khi đó đa thức thương g_{(x)}=b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+...b_{n-1} và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

chia đa thức bằng lược đồ hoocner

Giải thích lược đồ Hoocne:

Trong lược đồ gồm 2 hàng: Hàng trên chứa hệ số của đa thức f_{(x)}, hàng dưới chứa hệ số tìm được của g_{(x)}

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức f_{(x)} theo ẩn giảm dần và đặt số \alpha vào vị trí đầu tiên của hàng 2.  Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào thì hệ số của nó coi như bằng 0 và ta vẫn phải cho vào lược đồ

Bước 2: Hạ hệ số a_0 ở hàng trên xuống hàng dưới cùng cột. Đây cũng chính là hệ số đầu tiên của g_{(x)} tìm được, tức là: b_0=a_0.

Bước 3: Lấy số \alpha nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1.

Ta có                                  b_1=\alpha.b_0 + a_1

Quy tắc nhớ: "Nhân ngang, cộng chéo"

Bước 4: Cứ làm như vậy cho tới hệ số cuối cùng. và kết quả ta sẽ có:

f_{(x)} = (x-\alpha).g_{(x)} + r

hay a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}.x^1+a_n = (x-\alpha)(b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+...b_{n-1}) + r

Chú ý:

  • Bậc của đa thức g_{(x)} luôn nhỏ hơn bậc của đa thức f_{(x)} 1 đơn vị vì đa thức chia x-\alpha có bậc là 1
  • Nếu r=0 thì đa thức f_{(x)} chia hết cho đa thức g_{(x)}x=\alpha sẽ là một nghiệm của đa thức f_{(x)}

Phương pháp trên đây chính là cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne đó các bạn, có vẻ hơi lằng nhằng với các số ở dạng tổng quát đúng không? Để thấy được nó dễ hiểu hơn và thực sự rất dễ áp dụng thì chúng ta tiến hành làm 1 vài bài tập vậy.

Bài tập chia đa thức bằng lược đồ Hoocne

Bài 1: Thực hiện phép chia đa thức f_{(x)} = x^4-2x^3-3x^2+7x-2 cho đa thức x-2

Hướng dẫn giải

Trước khi làm bài tập này ta có một chú ý nho nhỏ: Nếu chia cho đa thức x-2 thì số \alpha=2 nếu chia cho đa thức x+2 thì số \alpha=-2.

Dựa vào hướng dẫn ở trên thầy sẽ có lược đồ hoocner cho bài toán này như sau:

chia đa thức bằng lược đồ hoocner - bài 1

Đa thức g_{(x)} tìm được ở đây chính là: g_{(x)} = 1.x^3+0.x^2-3.x+1 = x^3-3x+1

Thầy giải thích thêm cho các bạn nhé:

Giả sử số \alpha=2 là một cô gái rất đẹp + chân dài. Các hệ số mới tìm được sẽ là các Đại Gia chân đất.

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của f_{(x)} ở hàng 1, đặt số \alpha=2 vào cột 1 hàng 2, hạ hệ số đầu tiên xuống hàng 2. Hệ số đầu tiên bằng 1 (Đại gia thứ 1)

Bước 2: Đại gia thứ 1 thấy cô gái đẹp chạy tới ôm lấy, ta có 2.1. Nhưng đại gia là phải có tiền, thế là họ liền chạy lên hàng trên ôm tiếp số -2 vào (tiền của đại gia).

Ta có: 2.1+(-2) = 0, được kết quả là 0 mang xuống hàng dưới. (Đại gia thứ 2)

Bước 3: Đại gia thứ 2 này được sinh ra thấy cô gái đẹp cũng chạy tới ôm lấy, ta có 2.0. Nhưng đại gia là phải có tiền, thế là họ liền chạy lên hàng trên ôm tiếp số -3 vào (tiền của đại gia), ta có: 2.0+(-3) = -3. Được kết quả là -3 mang xuống hàng dưới. (Đại gia thứ 3)

Bước 4: Cứ tiếp tục thức hiện như vậy ta có kết quả như trong lược đồ thầy trình bày bên trên.

Kết quả ta có: x^4-2x^3-3x^2+7x-2 = (x-2)(x^3-3x+1)

Qua ví dụ trực quan như này các bạn thấy dễ hiểu hơn rồi chứ? Chắc chắn là dễ hiểu hơn cái lược đồ tổng quát rồi. Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng lược đồ Hoocne. Các bạn phải biết rằng những lúc nào thì ta nên sử dụng lược đồ Hoocner hay vận dụng lược đồ Hoocner trong những trường hợp như thế nào? Những bài toán như thế nào? Thầy có thể điểm danh một số trường hợp mà ta có thể dùng ngay dưới đây.

Các bài toán sử dụng được lược đồ Hoocne

  • Chia đa thức cho đa thức nhanh nhất
  • Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4...phương trình bậc cao
  • Phân tích đa thức thành nhân tử
  • ...

Giờ chúng ta cùng làm thêm một bài tập nữa, bài tập về tìm nghiệm của phương trình bậc 3 nhé

Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình sau: 2x^3-x^2-5x-2=0

Hướng dẫn giải

Với phương trình này các bạn có thể sử dụng máy tính để tính nghiệm và các bạn sẽ biết được phương trình này có 3 nghiệm là:x=-1;x=2;x=-\dfrac{1}{2}

Tuy nhiên chúng ta không thể dùng máy tính để tính nghiệm và kết luận ngay như vậy được, việc sử dụng máy tính sẽ cho ta biết được ít nhất 1 nghiệm nguyên của phương trình, từ đó ta có thể sử dụng lược đồ Hoocner để biến đổi.

Sau khi biết được 1 nghiệm nguyên của phương trình là x=-1, thì ta sẽ thực hiện phép chia đa thức 2x^3-x^2-5x-2=0 cho đa thức x+1. Áp dụng hoocner ta sẽ được kết quả như sau:

chia đa thức bằng lược đồ hoocner - bài 2

Nhìn vào bảng trên ta có kết quả như sau:

2x^3-x^2-5x-2=(x+1)(2x^2-3x-2)

Rất nhanh phải không các bạn. Nếu sử dụng phép chia đa thức thông thường thì việc có được kết quả như này sẽ mất rất nhiều thời gian để tính toán.

Biến đổi tới đây chúng ta tìm nghiệm của phương trình bậc 3 này đơn giản rồi. Cụ thể như sau:

2x^3-x^2-5x-2=0 \Leftrightarrow (x+1)(2x^2-3x-2)=0

 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x+1=0\\2x^2-3x-2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-1\\x=2\\x=-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.

Việc giải phương trình 2x^2-3x-2=0 các bạn có thể sử dụng công thức nghiệm để có kết quả như trên.

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x=-1;x=2;x=-\dfrac{1}{2}

Qua hai bài tập trên các bạn đã thấy một ứng dụng rất tuyệt vời của lược đồ Hoocner: chia đa thức cho đa thức. Nếu sau khi biết được cách sử dụng mà lại không dùng tới thì quả là rất lãng phí. Nói tóm lại thì Hoocner sẽ giúp chúng ta rất nhiều trong việc học toán từ trung học cơ sở tới trung học phổ thông. Hãy bắt tay ngay vào việc rèn luyện thêm một số bài tập nữa nhé.

Bài tập rèn luyện

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a. x^3-4x^2+x+6

b) x^3-5x^2-2x+24

c) 2x^4 -x^3-17x^2+x+15

d) 3x^4+5x^3-5x^2-5x+2

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

59 Thảo luận

  1. thầy ơi giải dùm e bài toán này đi ạ !!!!!

    x^2 - 4x + 3(x-1)căn (x-5) >37

    cấm ơn thầy nhìu ạ 🙂

  2. Phan Thị Hồng Hạnh says:

    Cám ơn thầy rất nhiều :), mà thầy ơi,e dùng hoocner để giải pt này : (x^4 + 3x)/(x+2)  ra kết quả (x^3 - 2x^2 + 4x - 5)   nhưng khi lấy kq nhân với (x+2) thì lại k ra đc pt ban đầu,e k hiểu cho lắm thầy ạ

  3. Chip ngoan says:

    Thầy ơi,giải giúp em bài này đi ạ, là một bài số phức, nhưng phải giải bằng hoocner ạ

    z^4 - 5×z^2 -36=0

    • Đây là hàm số trùng phương, em đặt ẩn rồi tìm nghiệm như bình thường thôi.
      Hooner dùng để tìm thương của 2 đa thức cho nhanh thôi.

      • Chip ngoan says:

        Cám ơn thầy nhưng đặt ẩn là như thế nào ạ, em học 12 rồi, nhiều công thức quá làm em rối hết lên rồi ạ.

    • đặt z^2=t đưa pt về dạng: t^2-5t-36=0
      giải phương trình ẩn t rồi thế ngược lại tìm z

      • Chip ngoan says:

        Ôi cám ơn thầy nhiều ạ, thế mà em quên mất em còn nhiều bt muốn hỏi lắm ạ, thầy có thể giúp em không!

  4. Phamthuhang2000 says:

    Thầy ơi thầy giải giúp e câu này với ạ
    x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x + 1= 0
    Em cảm ơn thầy nhiều ạ....

    • Phamthuhang2000 says:

      Và nếu đề bài là phân tích đa thức thành nhân tử thì lấy alpha ở đâu ạ?

      • \alpha chính là nghiệm của đa thức đó. Em phải tìm được 1 nghiệm đó trước rồi mới thực hiện chia được nhé. Còn bài toán yêu cầu chia đa thức cho đa thức thì áp dụng bình thường theo quy tắc.

    • Bạn kiếm tra xem bài toán đó đã thật chính xác về số và dấu chưa? vì nhiều bạn hỏi bài nhưng lại chép sai dấu hoặc số mũ bài toán nên rất vất vả để đi dịch bài của các bạn.

    • Cuong says:

      =>x^2-4x-6-4/x+1=0
      (x^2+1/x^2)-4(x+1/x)-6=0
      Dat t=x+1/x=>x^2+1/x^2=t^2-2
      Roi giai nhu binh thuong thoi!

  5. qúy says:

    Cảm ơn thầy nhiều, mong thầy chia sẽ nhiều phương pháp hơn nữa ạ 🙂

  6. Dõm quá nên ko hiểu j hết

  7. Trần Hoài Thương says:

    thầy ơi em vẫn k hiểu cái phần " Nếu chia cho đa thức x−2x−2 thì số α=2 nếu chia cho đa thức x+2x+2 thì số α=−2. " là tính kiểu gì vậy thầy
    cẩm ơn thầy trước ạ

    • Trần Hoài Thương says:

      và làm cách nào để tính đc số α này ạ

    • Tức là nếu em chia cho đa thức x-2 thì nghiệm của x-2 là 2. (giải pt x-2=0), do đó số \alpha=2. Khi chia cho đa thức x+2 thì số \alpha=-2 vì nghiệm của x+2 là -2.

      • Trần Hoài Thương says:

        nếu đề bài không cho x- 2 thì làn thế nào để tính ra số α ạ

        • Thì em phải nhẩm nghiệm để tìm đc ít nhất 1 nghiệm của đa thức.
          Lược đồ hoocner chỉ áp dụng được khi bạn biết 1 nghiệm của đa thức hoặc khi bài toán yêu cầu chia đa thức A cho đa thức B.
          Cách này dùng để chia phân tích cho nhanh thôi.

  8. ConNhaKhaGia says:

    Thay giup em con b bai 1 voi

  9. Thảo says:

    thầy có thể chỉ em cách nhẩm nhanh 1 nghiệm được không ạ.

    • không có cách nào nhẩm nhanh ở đây em à. Thông thường người ra đề họ thường cho các nghiệm dễ nhẩm như 0,+-1,+-2... nói chung là dễ đoán thôi.

  10. trang says:

    Thầy ơi!!! Thầy giải chi tiết bài này giúp em với ạ...
    Căn( x-1/x)+căn(1-1/x)=x

  11. Han says:

    Thầy ơi, nếu sau khi nhẩm nghiệm, em ra đến 3 nghiệm thì em phải lấy nghiệm nào đây ạ??

  12. Ngọc says:

    thầy ơi em có phương trình x^3-3x^2+(m+1)x -m+1=0 tìm m
    cho trước ptrình có 1 nghiệm bằng 1
    rồi em tách thành (x-1).(x^2-2x+m-1)=0 đến đây em k biết làm như nào nữa
    liệu có phải thay x=1 vào vế sau k ạ?

    • Pt cho trước 1 nghiệm thì sử dụng hooner để đưa về pt tích là hợp lý rồi. Thầy muốn hỏi bài của em yêu cầu tìm m là như thế nào? pt có nghiệm hay mấy nghiệm chẳng hạn?

  13. Phúc says:

    2x^3 - 6x + m - 2 hoocner pt 2 ẩn này làm sao thầy

  14. Lớp 8 says:

    Thầy cho em hỏi bài này làm thế nào ạ: Tìm dư trong phép chia (x^3+x^9+x^27+x^81+x^243+x):(x^2-1) bằng Hoocne. Em học lớp 8 ạ

  15. san says:

    thầy ơi em có 1 bài mà nghiệm đều xấu cả 3 thì giải ntn

  16. trần thị giang says:

    thầy chỉ con bài này:phân tích [x+2][x+3][x+4][x+5]-24.con cảm ơn thầy ạ!

    • Em nhóm như sau: (x+2)(x+5)=x^2+7x+10; (x+3)(x+4)=x^2+7x+12
      đặt t=x^2+7x+10 sẽ được t(t+2)-24=0 => t^2+2t-24=0
      phân tích thằng này thành nhân tử và thay t trở lại em nhé

    • dung says:

      thầy ơi,thầy chỉ cho em cách nhẩm nghiệm với phương trình bậc 4 với ạ

      • Nhẩm nghiệm phương trình bậc 4 thông thường ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 sử dụng cách xét tổng các hệ số
        Nếu a+b+c+d+e=0 thì có 1 nghiệm x=1. Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử
        Nếu a-b+c-d+e=0 thì có 1 nghiệm x=-1. Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử.
        Nếu là phương trình trùng phương thì đặt ẩn đưa về pt bậc 2.
        Nếu phức tạp thì phải dùng máy tính.

  17. trần thị giang says:

    thầy ơi, nếu tính nghiệm bằng máy tính mà cả 3 nghiệm là nghiệm ảo thì nên tính denta hay denta phẩy.con cảm ơn thầy

    • Nếu cả 3 nghiệm là nghiệm ảo tức là trên tập số thực R phương trình đó không có nghiệm. Chỉ tính delta nếu đó là phương trình bậc 2. Em có thể post cả bài lên thầy xem giúp

  18. trần thị giang says:

    cho các số thực a,b,c.thỏa mãn a^2+b^2=c^2+d^2=k [k là hằng số ]và ac+ bd=0. tính ab+cd.bài này khó quá thầy ơi,thầy chỉ giúp con với. con cám ơn thầy nhiều ạ!

  19. du tran says:

    thầy cho e ? nếu như bài toán lên đến bậc 6 hay bậc 7 thì lm thế nào mới tìm đc nghiệm để lấy ampha ạ

  20. Lê Trinh says:

    Thầy ơi, không hiểu?????

  21. Việt says:

    Nếu phép chia có dư thì sao thầy

  22. QUyên says:

    thầy ơi nếu pt bậc 3 nghiệm xấu thì sao biểu diễn ạ
    em mới lớp 9 nên không được dùng công thức Canardo gì gì th ạ, giúp em với

  23. khac do says:

    Cho e hỏi để tìm đc đa thức x-a phải lm như nào nếu ko dùng máy tính

    • Cái này thì phải nhẩm nghiệm để tìm nghiệm thôi em, thông thương bài toán cho thì sẽ nhẩm được nghiệm đẹp, không thì phải dùng máy tính để tìm đc ít nhất 1 nghiệm.

  24. dieuhien says:

    Thầy ơi nếu phương trình bị khuyết mất một ẩn phải tính Hoocner làm sao

  25. dieuhien says:

    ví dụ như có x mủ 5 ,x mủ 3 nhưng không có x mủ 4 vậy sơ dồ vẫn tính bình thường và bỏ phần x mủ 4 đi phải khong Thầy

  26. Huỳnh Khả Phi says:

    Hôm thi học kì cho trúng cái phương trình bậc 3. Cũng may đọc được cái này, dùng máy tính mò nghiệm rồi chia horner, làm được trọn điểm mừng hết lớn !!!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.