Các khái niệm liên quan vectơ

Trong chương trình học lớp 10 chúng ta bắt đầu làm quen với một khái niệm rất mới đó là vectơ. Rất nhiều bạn học sinh khi học ở THCS đã là một học sinh khá giỏi nhưng khi lên lớp 10 và bước đầu học những khái niệm liên quan vectơ, những bài toán về vectơ đều cảm thấy lạ lẫm, khó tiếp thu. Tuy nhiên nếu các bạn nắm chắc nhưng khái niệm cơ bản của vectơ, lấy kiến thức đó làm gốc rễ cộng với những kiến thức đã được xây dựng ở cấp 2 thì việc học vectơ sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều. Vậy những khái niệm hay định nghĩa liên quan vectơ mà các bạn cần phải nẵm vững ở đây là gì?

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Vậy ta có định nghĩa về vectơ như sau

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. 

cac khai niem lien quan vecto

Kí hiệu vectơ:

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, kí hiệu là \vec{AB} và đọc là "vectơ AB". Để vẽ vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút B.

Nếu vectơ có điểm đầu là B, điểm cuối là A, kí hiệu là \vec{BA} và đọc là "vectơ BA". Để vẽ vectơ BA ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút A.

Vectơ còn được kí hiệu là: \vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}... (các chữ cái thường nhé) khi không chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

Đó là khái niệm về vectơ. Vậy những khái niệm liên quan vectơ ở đây là những gì? chúng ta cùng đọc tiếp nhé.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của một vectơ.

Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng hướng: Hai vectơ \vec{AB} và \vec{CD} cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói hai vectơ \vec{AB} và \vec{CD} cùng hướng. Hai vectơ \vec{MN} và \vec{PQ} cùng phương nhưng ngược hướng nhau. Ta nói hai vectơ \vec{AB} và \vec{CD} là hai vectơ ngược hướng.

Như vậy hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Còn hai vectơ cùng hướng thì chắc chắn là chúng phải cùng phương rồi. Dưới đây ta có một nhận xét khá quan trọng dùng để chứng minh vectơ cùng phương và chúng minh 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ \vec{AB}\vec{AC} cùng phương.

Chứng minh:

Thuận: Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ \vec{AB}\vec{AC} cùng phương.

Khi ba điểm A, B, C thẳng hàng thì chúng sẽ cùng nằm trên một đường thẳng. Như vậy hai vectơ \vec{AB}\vec{AC} sẽ có giá trùng nhau. Do đó theo định nghĩa hai vectơ cùng phương thì \vec{AB}\vec{AC} sẽ cùng phương.

chung minh hai vecto cung phuong

Đảo: Nếu hai vectơ \vec{AB}\vec{AC} cùng phương thì ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.

Khi hai vectơ \vec{AB}\vec{AC} cùng phương thì hai đường thẳng AB và AC sẽ trùng nhau hoặc song song. Vì chúng có một điểm chung là A nên chúng phải có nhiều điểm chung khác nữa. Tức là chúng phải trùng nhau. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Qua nhận xét trên chúng ta đã khẳng định được "Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ \vec{AB}\vec{AC} cùng phương" . Một câu hỏi đặt ra là nếu "Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ \vec{AB}\vec{AC} có cùng hướng" hay không? Để biết được mệnh đề trên đúng hay sai thì chúng ta phải đi chứng minh thôi.

Chứng minh:

TH1: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Khi đó hai vectơ \vec{AB}\vec{BC} sẽ cùng phương, đồng thời ta thấy hai vectơ này có hướng từ trái sang phải (nếu 3 điểm có thứ tự là A, B, C) và có hướng từ phải sang trái (nếu 3 điểm có thứ tự là C, B, A). Vậy hai vectơ \vec{AB}\vec{BC} cùng hướng.

Hình vẽ

TH2: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C. Khi đó hai vectơ \vec{AB}\vec{BC} cùng phương. Mặt khác ta thấy vectơ \vec{AB} và \vec{BC} có hướng ngược nhau. Vậy hai vectơ \vec{AB}\vec{BC} ngược hướng.

chung minh hai vecto khong cung huong

Qua hai trương hợp trên thì các bạn có thể kết luận cho mệnh đề trên là đúng hay sai chưa? chắc chắn là có kết luận rồi đúng không?

Kết luận: Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ \vec{AB}\vec{AC} cùng hướng là sai.

Đọc tới đây thấy cũng khá mệt rồi, không biết những khái niệm liên quan vectơ đã hết chưa? Thưa các bạn là vẫn còn nhé, chúng ta chỉ mới biết được hai khái niệm liên quan thôi mà. Đọc tiếp nào...

Xem thêm: Tổng của hai vectơ

3. Hai vectơ bằng nhau

Độ dài của vectơ: Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của \vec{AB} kí hiệu là |\vec{AB}|, như vậy: |\vec{AB}| = AB

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

Hai vectơ \vec{a}\vec{b} được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng, kí hiệu là: \vec{a}\vec{b}

Chú ý: Khi cho trước vec tơ \vec{a} và một điểm O thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho: \vec{OA}=\vec{a}

Trong làm toán dạng vectơ này chúng ta sẽ gặp thường xuyên những bài tập yêu cầu chứng minh hai vectơ bằng nhau. Để chúng minh hai vectơ bằng nhau thì các bạn cần học tốt khái niệm hai vectơ bằng nhau ở trên, những dấu hiệu nhận biết dùng chứng minh hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.

Các bạn có thể tham khảo video bài giảng này: Chứng minh hai vectơ bằng nhau

4. Vectơ  - không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một véctơ đặ biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là \vec{AA} và gọi là vectơ - không.

Vectơ \vec{AA} nằm trên mọi đường thẳng đi qua A, vì vậy ta quy ước vectơ  - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

Ta cũng quy ước rằng: \vec{AA} = 0. Do đó có thể coi mọi vectơ - không đều bằng nhau.

Kí hiệu vectơ - không là: \vec{0}. Như vậy \vec{0} = \vec{AA} = \vec{BB} = ... với mọi điểm A, B ...

Ok. Tới đây là thầy đã giới thiệu xong toàn bộ những khái niệm liên quan vectơ. Các bạn học sinh mới học cố gắng nghiên cứu kĩ những định nghĩa này nhé. Đây chỉ là những định nghĩa cơ bản nhất thôi, còn nhiều cái liên quan nữa thầy sẽ gửi tới các bạn trong những bài viết sau.

Trong nội dung về vectơ này thầy cũng có một bộ tài liệu tổng hợp lý thuyết vectơ hình học 10, các bạn xem ở đây nhé.

 

 

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

70 Thảo luận

  1. Hai Duong says:

    vecto AB và vecto BA có bằng nhau không, thưa thầy

  2. hjeu says:

    thay co day bat phuong trinh vo ty k a

  3. Quốc Bảo says:

    Thưa thầy , nếu trong 1 tứ giác ABCD là có bao nhiêu vecto khác vecto 0 tạo ra từ các đỉnh của tứ giác vậy thầy

  4. Huyên says:

    Thầy ơi , vectơ 0 cộng với vectơ nào cũng bằng chính vectơ đó đúng không ạ ?

  5. Two says:

    Tìm vector cùng hướng vs 1 vector có lại ntn thầy

  6. Hảo says:

    Thưa thầy!!2 ngược hướng giá trùng nhau thì nó có cùng phương không ạ

  7. Huyền says:

    phân biệt vecto 0 và số 0 đi thầy !

  8. Đức says:

    Rất cám ơn người THẦY

  9. Kim Anh says:

    nếu vectơ OA -vectơ BO = AB được không thấy

  10. Kim Anh says:

    vecto OA + vectơ OB =AB được không thấy

  11. ABC says:

    Thầy cho con hỏi bài này.
    Cho 2 vectơ a,b ngược hướng. Khi đó :
    A. vectơ a + vectơ b cùng với vectơ a nếu l vectơ a l > l vectơ b l
    B.vectơ a + vectơ b cùng với vectơ a nếu l vectơ a l < l vectơ b l
    C.vectơ a + vectơ b cùng với vectơ a
    D.vectơ a + vectơ b cùng với vectơ b

  12. toàn says:

    Thầy ơi vectơ o có thể nhân hay chia với 1 số ko ạ

  13. toàn says:

    Nick f cua thay la gi ạ . Có gì e có thể xin ý kiến thầy

  14. toàn says:

    Thầy giáo giúp dùm em bài toán này nha

    • đk: x>2
      Em quy đồng rồi bình phương 2 vế, sau đó đưa về phương trình tích để giải.
      Bài toán của em viết không rõ ràng nên thầy hướng như vậy thôi

  15. toàn says:

    |x|: (x-2 nằm trong căn) = x 🙁 x-2 nằm trong căn)

  16. toàn says:

    ☹ là dấu ngoặc nha thầy e pấm lộn

  17. toàn says:

    Thầy giúp dùm em!! Cảm ơn thay ạ!!

  18. toàn says:

    E rút căn còn như thế này nè thầy : |x|=x

  19. hiếu says:

    thầy pphân tích giùm em câu này
    Mệnh đề nào sao đây là đúng ?
    A. Véctơ AB là đoạn thẳng AB
    B. Véctơ AB là đoạn thẳng AB được định hướng.
    C. Véctơ AB có độ dài bằng độ dài đoạn thẳng AB.
    D. Véctơ AB có giá song song với đường thẳng AB.
    theo em thấy mệnh đề B,C,D đều đúng. Thầy thấy sao ạ ?

  20. hiếu says:

    Thầy ơi! đây là câu hỏi trắc nghiệm trong sách :"Bài tập tắc nghiệm và các đề kiểm tra" - Tác giả : Văn Như Cương và Nguyễn Thị Lan Phương viết NXB giáo dục. Em thấy B và C là đúng còn A và D
    thì sai vì mệnh đề D có giá phải trùng với đường thẳng AB phải không thầy?

  21. Thảo nguyên says:

    Thầy cho e hỏi:
    Bình phương của một vecto bằng 1 phải không ạ?

  22. mập says:

    Thầy cho e hỏi 2 vecto song song khi nào vậy ạ

  23. haohaopham says:

    thưa thầy làm thế nào để biết 2 vectơ ngược hướng ạ

    • 2 vecto ngược hướng thì trước tiên chúng cùng phương
      \vec{a} cùng phương với \vec{b} khi \vec{a}=k.\vec{b}. Nếu K>0 thì cùng hướng, k<0 thì ngược hướng.

      • haohaopham says:

        thầy làm giúp em bài này nhé . mệnh đề nào sau dday đúng ;a)hai vectow u=(0;8)và v(0;-2) ngược hướng ;b)hai vectow u=(0;8)và v(-8;0) ngược hướng ;c)hai vectow u=(8;0)và v=(-4;-2) ngược hướng ;d)hai vectow u=(0;8) và v= (0;4) ngược hướng

  24. đáp án A em nhé. 2vecto này có giá là trục oy

    • haohaopham says:

      thầy ơi 3 điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng khi 2 vectoAB và AC cùng hướng.vecto BA và CB cùng phương.vecto AB và BC cùng phương hay AB và AC cùng phương.cái nào sai hả thầy??

  25. T says:

    Thưa thầy 2 vecto biết tọa độ thì cùng hướng,đối nhau khi nào

  26. haohaopham says:

    thầy giúp e bài này nhé
    cho tam giác ABC có trung tuyến AN và trọng tâm G.khẳng định nào sai
    A)NG=-1/3NA
    B)GB+GC=2/3AN
    C)GA=-2GN
    D)GB+GC=2GN
    C sai đúng k thầy

  27. Tuyết Nhung says:

    Thầy vecto AB và BC ss thì có = nhau k thầy

    • 2 vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng hướng và cùng độ dài. Nếu bài toán cho tọa độ của A, B, C rồi thì em chỉ tính tọa độ của vectơ ra rồi sử dụng biểu thức tọa độ của 2 vecto để xét

  28. says:

    thầy ơi. thế hoành chia hoành bằng tung chia tung là 2 vecto cùng phương hay cùng hướng ạ

    • Đó chắc chắn là 2 vectơ cùng phương. Còn cùng hướng hay không thì phải xét tiếp. Nếu tỉ số đó dương thì cùng hướng, nếu âm thì ngược hướng

  29. Thành says:

    2 vecto cùng nằm trên 1 đường thẳng thì tích 2 vecto đó =0 đúng k thầy

  30. hoaf says:

    trong hinh binh hanh ABCD co may vecto bang VT AB ha thay

  31. nguyễn says:

    thầy ơi cho em hỏi thử
    vecto AA nhân với vecto BA thì bằng vecto BA phải không ạ ?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *