Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn có lời giải

Bài viết này mình sẽ giới thiệu với các bạn những dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn cơ bản nhất. Mình sẽ đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể và áp dụng ngay vào bài tập

bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M(x_0;y_0) thuộc đường tròn. Ta dùng công thức tách đôi tọa độ.

- Nếu phương trình đường tròn là: x^2+ y^2- 2ax - 2by+ c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: xx_0+ yy_0- a(x + x_0) - b(y + y_0) + c = 0

- Nếu phương trình đường tròn là: (x - a)^2+(y - b)^2= R^2 thì phương trình tiếp tuyến là:

(x - a)(x_0- a) + (y - b)(y_0- b) = R^2

Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm I(x_0, y_0)  cho trước ở ngoài đường tròn.

Viết phương trình của đường thẳng d qua I(x_0, y_0):

y - y_0= m(x - x_0)\Leftrightarrow mx - y - mx_0+ y_0= 0        (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

Phương trình của đường thẳng d có dạng:

y = kx + m (m chưa biết) \Leftrightarrow kx - y + m = 0

Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m.

Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn (C) tại điểm M(3;4) biết đường tròn có phương trình là: (x-1)^2+(y-2)^2=8

Hướng dẫn:

Đường tròn (C) có tâm là điểm I(1;2) và bán kính R=\sqrt{8}

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;4) là:

(3-1)(x-3)+(4-2)(y-4)=0

\Leftrightarrow 2x+2y-14=0

Tham khảo thêm bài giảng:

Bài tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: x^2+y^2-4x+8y+18=0

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1;-3)

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua B(1;1)

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình 3x-4y+5=0

Hướng dẫn:

Các bạn hoàn toàn xác định được tâm I(2;-4) và bán kính R=\sqrt{2}

a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm A(1;-3) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác.

Các bạn thay tọa độ của điểm A(1;-3) vào phương trình đường tròn (C) thấy thỏa mãn. Do đó điểm A sẽ thuộc đường tròn (C).

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua A có dạng là:

1.x-3y-2(x+1)+4(y-3)+18=0

\Leftrightarrow x-y-4=0

b. Các bạn thay tọa độ của điểm B vào phương trình đường tròn (C) thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn (C). Khi điểm B không thuộc đường tròn (C) thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp.

Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm B(1;1) với hệ số góc k \Delta: y=k(x-1)+1\Leftrightarrow kx-y-k+1=0

Để đường thẳng \Delta là tiếp tuyến của dường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng \Delta phải bằng bán kính R.

Ta có: d_{(I,\Delta)}=R

\Leftrightarrow \dfrac{|2k+4-k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}

\Leftrightarrow |k+5|=\sqrt{2(k^2+1)}

\Leftrightarrow k^2+10k+25=2k^2+2

\Leftrightarrow k^2-10k-23=0

\Leftrightarrow k=5-4\sqrt{3} hoặc k=5+4\sqrt{3}

+. Với  k=5-4\sqrt{3} ta có phương trình tiếp của (C) là: y=(5-4\sqrt{3})x-5+4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5-4\sqrt{3})x-4+4\sqrt{3}

+. Với  k=5+4\sqrt{3} ta có phương trình tiếp của (C) là: y=(5+4\sqrt{3})x-5-4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5-4\sqrt{3})x-4-4\sqrt{3}

c. Ở ý này liên quan tới đường thẳng vuông góc, tiện đây mình sẽ nói luôn cả về đường thẳng song song liên quan tới hệ số góc.

Cho hai đường thẳng d_1; d_2 lần lượt có hệ số góc là: k_1; k_2

+. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau, tức là: k_1=k_2

+. Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1, tức là: k_1.k_2=-1

Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng 3x-4y+5=0. Đường thẳng này có hệ số góc là \dfrac{3}{4}. Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là -\dfrac{4}{3}

Gọi phương trình tiếp tuyến là \Delta có dạng: y=-\dfrac{4}{3}x+m\Leftrightarrow 4x+3y-3m=0

Vì đường thẳng \Delta là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

d_{(I,\Delta)}=R

\Leftrightarrow \dfrac{|4.2+3(-4)-3m|}{\sqrt{25}}=\sqrt{2}

\Leftrightarrow |-3m-4|=5\sqrt{2}

\Leftrightarrow 9m^2+24m-34=0

\Leftrightarrow m=\dfrac{-4+5\sqrt{2}}{3} hoặc m=\dfrac{-4-5\sqrt{2}}{3}

Với m=\dfrac{-4+5\sqrt{2}}{3} thì phương trình tiếp tuyến là: y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{-4+5\sqrt{2}}{3}

Với m=\dfrac{-4-5\sqrt{2}}{3} thì phương trình tiếp tuyến là: y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{-4-5\sqrt{2}}{3}

Trên đây là một số dạng bài tập phương trình tiếp tuyến các bạn có thể gặp. Nếu bạn thấy bài viết hay thì hãy chia sẻ tới bạn bè của mình, commnent trong khung bên dưới để bày tỏ ý kiến của bạn.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

18 Thảo luận

  1. ap says:

    Rất cảm ơn bạn đã có những lời giả hay

  2. dat says:

    Tiếp tuyến qua điểm R bị sai.

  3. Nguyễn Hằng says:

    Thấy hướng dẫn em bài này với ạ:
    Viết pt đường tròn có tâm I (-3;4) và đi qua A (7;2)
    Làm sao để tìm được R vậy thầy?

  4. Thành Dũng says:

    Xin hỏi thầy giáo, bình phương AB bằng tích 2 đoạn BC X CD ? trong đó AB là tiếp tuyến với đường tròn ( tiếp tuyến tại A), BD là cát tuyến cắt đường tròn tại C và D.
    Xin cảm ơn thầy giáo
    ( Ông ngoại 60 tuổi hỏi )

    • Chú xét 2 tam giác đồng dạng ABC và DBA vì có góc ABC chung và góc BAC = góc ADC (=1/2 sđ cung AC)
      Từ đó có tỷ số: AB/BC = BD/AB => AB^2 = BC.BD
      Cám ơn chú đã quan tâm tới blog. Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài viết mới nhất. Chúc chú sức khỏe để sum vầy và giúp đỡ đc nhiều hơn cho con cháu.

  5. Sang says:

    Thầy: phương trình đường tròn: x mũ2+y mũ2−4x+8y−18=0
    Tâm I (2; -4) và bán kính R= căn 2 ???
    Em nghĩ là bán kính R = căn 38. phải ko thầy?

  6. Đức Kiên says:

    Phương trình tiếp tuyến dạng 1 bị sai. Không có R^2.

  7. Minh says:

    C1:Chứng minh : (1- sin^2 @ ).cos^2 @ +(1 - cot^2 @)= sin^2 @
    C2:Trong mặt phẳng x0y (C) có pt:
    x^2 + y^2 -6x +2y +5 =0 và M (0;-7) N (-4;1)
    a,Viết pt tổng quát MN
    b,Viết pt tổng quát vs C biết tiếp tuyến tâm giác vuông góc : x+y+1=0
    Thầy giải giúp e vs ạ

  8. Loan says:

    Thầy ơi tại sao pt của đt d qua điểm I có dạng y- yo =m(x-xo) vậy?

  9. minh says:

    diem A(-1;0) nếu thay vô phuong trinh (c) đâu có = 0 đâu thầy?

  10. asd says:

    thầy ơi viết PT tt đường tròn biết hoành độ.Làm thế nào ạ

    • Nếu biết hoành độ tiếp điểm, em thay giá trị hoành độ vào pt đường tròn tìm tung độ. Khi biết được tọa độ tiếp điểm rồi em sẽ viết đc pttt

  11. khoa says:

    Thầy ơi, viết pt tiếp tuyến của (C) x^2+y^2 -2=0 và // với d: X-y+2=0

  12. Tae Tae says:

    thầy ơi cho r hỏi đc k ạ

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.