Bài tập chứng minh chia hết bằng quy nạp có lời giải

Chào các bạn, tiếp tục trong chuyên đề về chứng minh quy nạp toán học thì hôm nay thầy sẽ gửi tới chúng ta một bài giảng nữa. Nội dung bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm dạng toán về chứng minh chia hết bằng quy nạp.

chung minh chia het bang quy nap

Đọc tới bài này ắt hẳn các bạn đã rất rõ các bước làm đối với phương pháp này. Trong dạng toán chứng minh chia hết này thầy muốn nhấn mạnh một điểm đó là: Các bạn cần phải khai thác triệt để giả thiết quy nạp, tức là trong quá trình giải toán ở bước chứng minh n=k+1, các bạn cần phải biến đổi biểu thức sao cho xuất hiện cái giả thiết quy nạp.

Bạn nào chưa rõ chứng minh quy nạp là gì thì hãy xem trước bài giảng này: Thế nào là chứng minh quy nạp toán học?

Bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm 3 bài tập với lời giải rất chi tiết.

 

Bài 1: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng:

A = n^3+3n^2+5n \vdots 3            (1)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xét với n=1 ta có: A = 9 \vdots 3. Vậy  (1) đúng với n=1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k, tức là : A = k^3+3k^2+5k \vdots 3       (2)   (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh

A = (k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1) \vdots 3

Ta có:        A = (k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)

= k^3+3k^2+3k+1 +3k^2+6k+3 +5k+5    (ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)

= (k^3+3k^2+5k)+3k^2+9k+9

= (k^3+3k^2+5k)+3(k^2+3k+3) \vdots 3

Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên (k^3+3k^2+5k) \vdots 3

3(k^2+3k+3) \vdots 3  (hiển nhiên)

Vậy (1) đúng với n=k+1

Kết luận: Vậy A = n^3+3n^2+5n \vdots 3 với n là một số nguyên dương.

 

Bài 2: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng: B4^n+15n-1 \vdots 9      (1)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xét với n=1 ta có: B = 18 \vdots 9. Vậy  (1) đúng với n=1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k, tức là : B_k = 4^k+15k-1 \vdots 9       (2)   (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh

B_{k+1} = 4^{k+1}+15(k+1)-1 \vdots 9

Ta có:        B_{k+1} = 4^{k+1}+15(k+1)-1

= 4.4^k+15k+14     (ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)

= 4(4^k+15k-1)-45k+18

= 4.B_k -9(5k-2) \vdots 9

Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên B_k \vdots 9

9(5k-2) \vdots 9 (hiển nhiên)

Vậy (1) đúng với n=k+1

Kết luận: Vậy B4^n+15n-1 \vdots 9   với n là một số nguyên dương.

Bạn có quan tâm: Bài tập chứng minh đẳng thức bằng quy nạp có lời giải

 

Bài 3: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng: C = 7.2^{2n-2}+3^{2n-1}  \vdots 5      (1)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xét với n=1 ta có: C = 10 \vdots 5. Vậy  (1) đúng với n=1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k, tức là : C_k = 7.2^{2k-2}+3^{2k-1} \vdots 5       (2)   (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh

C_{k+1} =7.2^{2(k+1)-2}+3^{2(k+1)-1} \vdots 9

Ta có:        C_{k+1} = 7.2^{2(k+1)-2}+3^{2(k+1)-1}

= 7.2^{2k+2-2}+3^{2k+2-1}

= 7.2^2.2^{2k-2}+3^2.3^{2k-1}

= 4.7.2^{2k-2}+9.3^{2k-1}    (ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)

= 4(7.2^{2k-2}+3^{2k-1})+5.3^{2k-1}

4.C_k+5.3^{2k-1}

Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên C_k \vdots 5

5.3^{2k-1} \vdots 5 (hiển nhiên)

Vậy (1) đúng với n=k+1

Kết luận: Vậy C = 7.2^{2n-2}+3^{2n-1} \vdots 5    với n là một số nguyên dương.

Trên đây là lời giải chi tiết của 3 bài toán chứng minh chia hết bằng quy nạp. Như các bạn đã xem trong nội dung của lời giải thì điều quan trọng đối với dạng này là phải nhân, chia, thêm, bớt để làm sao xuất hiện được cái giả thiết quy nạp là sẽ Ok. Các bạn nghiên cứu kỹ lời giải của 3 bài toán trên và hoàn thành cho thầy 3 bài tập tự luyện dưới đây nhé.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng:

a. n^3+11n \vdots 6

b. 2n^3-3n^2+n \vdots 6

c. 11^{n+1}+12^{2n-1} \vdots 133

 

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

10 Thảo luận

  1. queeanhh says:

    chung minh rang 1/1*2 + 1/2*3 + 1/n*(n+1) = n/n+1

  2. hoàng nguyễn bảo says:

    đề chỗ câu 2n^3-3n^2 +n chia hết cho 6 đề bị sao r

  3. Me says:

    Hãy giúp e với: Chứng minh rằng 5^n+2.3^(n-1)+1 chia hết cho 8!!!!

  4. Khoa Rice says:

    giúp em vs ak A=3^2n+1  +2^6n+1 chia hết cho 11 với mọi n

     

  5. quoc says:

    cmr \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}} có 100 dấu căn không là so tu nhien

  6. huy says:

    Giup em voi....1 + 3+3^2+3^3+....+3^11 chia hết cho 13

    • Em nhóm lần lượt 3 số lại với nhau
      (1+3+3^2)+(3^3+3^4+3^5)+(3^6+3^7+3^8)+(3^9+3^{10}+3^{11})
      =13+3^3(1+3+3^2)+3^6(1+3+3^2)+3^9(1+3+3^2)
      =13+13.3^3+13.3^6+13.3^9
      chia hết cho 13

  7. Bình says:

    thầy có thể chữa ý b phần bài tập tự luyện đc ko ạ

  8. phucho says:

    cho a,b tu nhien a>b . c mr : B=a^2b^2(a^4-b^4) chia het cho 60

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *