3 cách tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD là mặt cầu đi qua 4 điểm hay 4 đỉnh A, B, C và D. Do đó để tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện chúng ta sẽ đi tìm tâm và mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C và D. Với bài toán này thông thường cách cơ bản và dễ hiểu nhất (tuy tính toán hơi dài) là sử dụng 1 trong 3 cách sau:

Cách 1: Gọi I là tâm mặt cầu, sử dụng tính chất IA=IB=IC=ID => tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu. Cách này có thể sử dụng cho bài toán tổng quát lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp khối đa giác.

Cách 2: Giả sử phương trình mặt cầu là: x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0. Vì mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên tọa độ của chúng sẽ thỏa mãn phương trình mặt cầu. Từ đây ta có hệ 4 phương trình ẩn a, b, c và d. Giải hệ này sẽ được phương trình mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.

Cách 3: Kết hợp cách 1, cách 2 và tùy yêu cầu bài toán cho, có thể cách giải sẽ đơn giản hơn hoặc phức tạp hơn.

Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu một số bài tập viết phương trình mặt cầu, tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Xem thêm:

Bài tập 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;1;0); B(1;1;3); C(2;-1;3); D(1;-1;0). Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Hướng dẫn :

Với bài toán này chúng ta sẽ áp dụng cách 1 để tìm tâm, bán kính mặt cầu.

Gọi tọa độ tâm và bán kính mặt cầu cần tìm là: I(a;b;c) và R

Vì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có: IA=IB=IC=ID.

Ta có:

\vec{IA}(a-2;b-1;c)\vec{IB}(a-1;b-1;c-3)\vec{IC}(a-2;b+1;c-3)\vec{ID}(a-1;b+1;c)

IA=\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2+c^2}

IB=\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2+(c-3)^2}

IC=\sqrt{(a-2)^2+(b+1)^2+(c-3)^2}

ID=\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2+c^2}

Từ IA=IB \Rightarrow a-3c+3=0    (1)

Từ IA=IC \Rightarrow 4b-6c+9=0       (2)

Từ IA=ID \Rightarrow 2a+4b-3=0          (3)

Từ (1) (2) (3) ta có được: a=\dfrac{3}{2}; b=0; c=\dfrac{3}{2} \Rightarrow I(\dfrac{3}{2};0;\dfrac{3}{2})

R=IA=\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2+c^2} =\sqrt{(\dfrac{3}{2}-2)^2+1^2+(\dfrac{3}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}

Vậy tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I(\dfrac{3}{2};0;\dfrac{3}{2}) và bán kính mặt cầu là R=\dfrac{\sqrt{14}}{2}

Bài tập 2:

Viết phuơng trình mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D biết A(2;4;-1); B(1;4;-1);C(2;3;4); D(2;2;-1)Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu tìm được.

Hướng dẫn:

Bài tập này tuy phát biểu không giống với bài tập 1 nhưng về bản chất thì như bài tập 1. Các bạn có thể áp dụng cách làm như bài tập 1. Ngoài ra có thể áp dụng cách 2 để tìm phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm. Trong bài tập này thầy sẽ hướng dẫn các bạn cách 2.

Gọi phương trình mặt cầu có dạng: x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0 với điều kiện a^2+b^2+c^2-d>0

Vì mặt cầu đi qua điểm A(2;4;-1) nên ta có phương trình:4a-8b+2c-d-21=0    (1)

Vì mặt cầu đi qua điểm B(1;4;-1) nên ta có phương trình:2a+8b-2c+d+18=0    (2)

Vì mặt cầu đi qua điểm C(2;3;4) nên ta có phương trình:4a+6b+8c+d+29=0     (3)

Vì mặt cầu đi qua điểm D(2;2;-1) nên ta có phương trình:4a+4b-2c+d+9=0        (4)

 Từ (1) (2) (3) (4) sẽ có 1 hệ gồm 4 phương trình. Giải hệ này các bạn sẽ tìm được a, b, c và d.
Bài tập 3:
Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(5;3;4),B(-3;1;2),C(0;6;2),D(2;3;-1).
a. Lập phương trình mặt phẳng (BCD)Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
b. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D.
c. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

Hướng dẫn:

a. Lập phương trình mặt phẳng (BCD). Tính khoảng cách từ A đến (BCD).

Để lập phương trình mặt phẳng (BCD) các bạn cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Các bạn có thể chọn cặp vectơ chỉ phương \vec{BC}, \vec{BD}

Ta có: \vec{BC}(3;5;0); \vec{BD}(5;2;-3)

Tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là: \vec{n}_{(BCD)}=(-15;9;-19)

Phương trình mặt phẳng (BCD) là: -15x+9y-19z-6=0

*. Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD):

d= \dfrac{|5.(-15)+3.9+4(-19)-6|}{255+81+298}=\dfrac{130}{634}

b. Để viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D các bạn làm tương tự như cách làm của bài tập 1 và 2.

c. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

Các bạn cần tìm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng này. Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A nên IA vuông góc với mặt phẳng cần tìm, do đó \vec{IA} là pháp tuyến của mặt phẳng, với I là tâm của mặt cầu tìm được ở trên.

Bài tập 4:

a. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(2;1;5); B(0;1;1); C(0;0;4); D(0;0;0).

b. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh là: A(2;0;0); B(0;4;0); C(0;0;6); D(2;4;6)

Đáp án: 

a. Phương trình mặt cầu là: x^2+y^2+z^2-6x+2y-4z=0

a. Phương trình mặt cầu là: x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

1 Thảo luận

  1. Đối với dạng bài này em thường viết pt mp trung trực AB, BC, CD => giải pt 3 ẩn của 3mp đó

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *