2 bài toán tìm số áp dụng chỉnh hợp hay gặp

Trong bài giảng trước thầy đã phân tích cho chúng ta thấy sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp để các bạn không hiểu sai về hai khái niệm này. Và để biết khi nào thì chúng ta sử dụng chỉnh hợp vào giải toán thì hôm nay thầy gửi tới các bạn một số ví dụ để làm rõ khái niệm này. Đó là 2 bài toán tìm số áp dụng chỉnh hợp hay gặp.

bai toan tim so ap dung chinh hop

 

Bài 1: Cho tập A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số được lấy từ 7chữ số trên, sao cho:

a. Các chữ số đều khác nhau

b. Các chữ số đều khác nhau và chữ số đầu tiên là chữ số 3

c. Chữ số đầu tiên là chữ số 3

d. Không tận cùng bằng chữ số 4

Bài giải:

a. Gọi số có 5 chữ số là :\overline{abcde}

Vì số có 5 chữ số là khác nhau (a\neq b \neq c \neq d \neq e) được tạo thành từ 7 chữ số trong tập A nên số các số cần tìm sẽ là chỉnh hợp chập 5 của 7.

Ta có: A^5_7 =\dfrac{7!}{(7-5)!} = \dfrac{7!}{2!}=\dfrac{2!.3.4.5.6.7}{2!} = 3.4.5.6.7 = 2520 (số)

 

b. Số gồm 5 chữ số khác nhau mà có chữ số đầu tiên là chữ số 3 nên có dạng: \overline{3abcd}

Như vậy ta chỉ cần tìm các chữ số là a, b, c và d. Vì các chữ số là khác nhau nên ta loại chữ số 3 khỏi tập A, khi đó tập A sẽ còn các chữ số 1; 2; 4; 5; 6; 7.

Việc chọn ra 4 chữ số trong 6 chữ số còn lại sẽ là chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Ta có:

A^4_6 =\dfrac{6!}{(6-4)!} = \dfrac{6!}{2!} =\dfrac{2!.3.4.5.6}{2!} =3.4.5.6 = 360 (số)

Vậy số các số gồm 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 3 có 360 số

 

c. Số gồm 5 chữ số mà có chữ số đầu tiên là chữ số 3 nên có dạng: \overline{3abcd}.

Như vậy ta chỉ cần tìm các chữ số là a, b, c và d. Vì các chữ số không cần phải khác nhau nên ta vẫn xét cả chữ số 3 trong tập A.

Việc chọn ra 4 chữ số không yêu cầu khác nhau trong 7 chữ số sẽ là chỉnh hợp lặp chập 4 của 7 phần tử. Ta có:

F^4_7 = 7^4 =2401 (số)

Vậy số các số gồm 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 32401 số

Để hiểu thế nào là chỉnh hợp lặp các bạn nhờ Cụ Google nhé.

 

d. Gọi số có 5 chữ số là :\overline{abcde}

Các số gồm 5 chữ số nhưng không tận cùng bằng chữ số 4. Vậy e chỉ nhận một trong các chữ số là: 1; 2; 3; 5; 6; 7. Như vậy e sẽ có 6 cách chọn.

Vì các chữ số không yêu cầu khác nhau nên ta vẫn xét chữ số 4 cho các vị trí a; b; c; d. Như vậy các chữ số a; b; c; d sẽ được lấy từ tập A gồm 7 chữ số như ban đầu.

Việc chọn ra 4 chữ số không yêu cầu khác nhau trong 7 chữ số trên sẽ là chỉnh hợp lặp chập 4 của 7 phần tử. Ta có:

F^4_7 =7^4 =2401

Vậy các số gồm 5 chữ số nhưng không tận cùng bằng chữ số 4 sẽ là:

6.F^4_7 = 6. 2401 = 14406 (số)

Xem thêm: Video bài giảng quy tắc cộng và quy tắc nhân

 

Bài 2: Cho tập B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ 7 chữ số trên, sao cho:

a. Là số chẵn

b. Là số lẻ

Bài giải:

a. Gọi số có 5 chữ số khác nhau là: \overline{abcde}

Vì số cần tìm là số chẵn nên các số này phải có chữ số tận cùng là chẵn. Mặt khác trong tập hợp B bài cho có cả chữ số 0, mà chữ số 0 thì không thể đứng ở vị trí a nên thầy sẽ hướng dẫn các bạn theo 2 cách như sau:

Cách 1:

Số chẵn cần tìm bằng: Tất cả các số chẵn được lập từ tập B trừ đi các số chẵn bắt đầu bằng chữ số 0.

Tất cả các số chẵn lập từ tập B:

Vì số cần tìm là chẵn nên e phải chẵn. Vậy e4 cách chọn được lấy từ 1 trong các chữ số 0; 2; 4; 6.

Bây giờ tập B chỉ còn 6 chữ số (loại chữ số chọn cho e). Chúng ta sẽ chọn 4 chữ số a; b; c; d trong 6 chữ số trên. Vì các chữ số là khác nhau nên việc chọn 4 chữ số a; b; c; d sẽ là chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Ta có A^4_6 = \dfrac{6!}{(6-4)!} = \dfrac{6!}{2!} = \dfrac{2!.3.4.5.6}{2!} = 3.4.5.6 =360 (số)

Vậy tất cả các số chẵn có thể lập từ B là: 4.360 = 1440 (số)

Các số chẵn bắt đầu bằng chữ số 0: Có dạng là \overline{0bcde}

Chọn e3 cách chọn được lấy từ tập gồm các chữ số {2; 4; 6}

Khi đó tập B còn 5 chữ số (loại số 0 ở đầu và số e). Việc chọn ra 3 số b; c; d trong 5 số còn lại là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Ta có:

A^3_5 =\dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{5!}{2!}= 3.4.5=60 (cách)

Vậy số các số chẵn bắt đầu bằng chữ số 0 là: 3. 60 = 180 (số)

Vậy các số chẵn thỏa mãn bài toán là: 1440 - 180 =1260 (số)

 

Cách 2:

Vì ta cần xác định các số chẵn mà trong tập B lại có cả chữ số 0 (ông 0 này gây rất nhiều rắc rối) nên ta cần chia làm 2 trường hợp.

Trường hợp 1:

Chọn e=0. Số cần tìm có dạng \overline{abcd0}

Tiếp theo ta chọn a: Vì a khác 0 nên a sẽ có 6 cách chọn, được lấy từ tập gồm các số 1; 2; 3; 4; 5; 6

Sau khi chọn ae ta còn lại 5 chữ số, việc chọn ra 3 chữ số trong 5 chữ số trên sẽ là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Ta có: A^3_5 = \dfrac{5!}{2!} = 60 (số)

Như vậy trong trường hợp này ta có: 6.60 = 360 (số)

Trường hợp 2:

Chọn e =\{2; 4; 6\} nên e3 cách chọn.

Chọn a sẽ có 5 cách chọn (a phải khác 0e)

Chọn b; c; d sẽ được lấy từ tập gồm 5 chữ số (khác ae). Như vậy ta có A^3_5 =\dfrac{5!}{2!} =3.4.5 =60 (số)

Vậy trường hợp này ta có: 3.5.60 = 900 (số)

Cộng cả hai trường hợp ta sẽ có:360 + 900 =1260 (số)

 

b. Số cần tìm là số lẻ

Gọi số cần tìm có 5 chữ số khác nhau và là số lẻ có dạng: \overline{abcde}

Vì là số lẻ nên e chỉ nhận 1 trong các chữ số 1; 3; 5. Vậy e3 cách chọn.

Chọn a: Vì a phải khác 0e nên a sẽ có 5 cách chọn.

Chọn b; c; d: Sau khi chọn ra ae ta còn lại 5 chữ số. Vậy số cách để chọn được 3 vị trí còn lại sẽ là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Ta có: A^3_5 = \dfrac{5!}{2!} =3.4.5 =60 (số)

Vậy các số lẻ cần tìm sẽ là: 3. 5. 60 =900 (số)

Qua hai ví dụ trên hy vọng các bạn sẽ nắm rõ hơn việc áp dụng các bài tập số vào chỉnh hợp. Và để làm tốt bài tập chỉnh hợp một phần quan trọng không thể thiếu đó là cần nắm vững hai quy tắc đếm. Đó là cơ sở để các bạn hoàn thành tốt các bài tập áp dụng chỉnh hợp. Chúc các bạn học tập tốt.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

Thầy Giáo Nghèo

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

18 Thảo luận

  1. sang says:

    thưa thầy tại sao số gồm 5 chữ số khác nhau và có 1 chữ số 3 s thầy ko lấy chập 5 của 6 mà lại là chập 4 của 6 xin thầy giải thích rỡ hơn ạ :p

    • Bài toán này yêu cầu số 3 ở vị trí đầu tiên nên chỉ có 1 cách chọn. Do đó còn lại 4 vị trí nữa để chúng ta sắp xếp. 4 vị trí nữa được lấy từ các số còn lại, các số còn lại gồm 6 số (trừ số 3). Do đó số cách sắp xếp là A^4_6

  2. hungphi says:

    thầy ơi, em có 1 bài toán mong thầy giải giúp em nhé,

    em có một chiếc lồng gồm 20 con thỏ được ghi số thứ tự từ 1 đến 20, nếu em muốn bắt con thỏ số 8 trong chiếc lồng đó, thì em phải bắt ngẫu nhiên bao nhiêu lần ? biết mỗi lần em chỉ bắt ngẫu nhiên ra ngoài được 5 con. Làm phiền thầy nhìu ,hihi

    • hungphi says:

      ak thầy ơi có một lưu ý nhỏ nữa là khi thầy bắt ngẫu nhiên 5 con thỏ ra ngoài mà ko có con thỏ số 8 thì thầy phải bỏ tất cả lại vào lồng và tiếp tục bắt lại, hi,

       

  3. thuytrinh says:

    thầy giảng giúp em bài này

    ta muốn mời 6 người vào ngồi 6 ghế ( dãy) có bao nhiêu cách sắp cho biết anh bình và cô lan phải ngồi kề nhau

     

  4. Ta coi anh Bình và cô Lan là 1 nhóm, khi đó còn lại 4 người. Vậy từ 6 vị trí lúc này ta coi chỉ còn 5 vị trí (vị trí Bình và Lan coi là 1 vị trí rồi). Vậy nhóm cô Lan+ anh Bình và 4 người còn lại đc sắp xếp vào 5 vị trí ta có (5!) cách.

    Mặt khác trong nhóm anh Bình + cô Lan có thể hoán đổi vị trí chỗ ngồi cho nhau. Vậy ta có (2!) cách

    Theo quy tắc nhân ta có: (2!.5!) cách

  5. Kim Xuyến says:

    Các số chẵn bắt đầu bằng chữ số 0: Có dạng là 0bcde¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    Chọn e có 3 cách chọn được lấy từ tập gồm các chữ số 2;4;6
    Khi đó tập B còn 5 chữ số (loại số 0 ở đầu và số e). Việc chọn ra 3 số b;c;d trong 5 số còn lại là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Ta có:
    A35=5!(5−3)!=5!2!=3.4.5=60 (cách)
    Vậy số các số chẵn bắt đầu bằng chữ số 0 là: 3.60=180 (số)
    NẾU CÁC SỐ CHẴN BẮT ĐẦU BẰNG CHỮ SỐ 0 THÌ THÀNH SỐ CÓ 4 CHỮ SỐ RỒI MÀ THẦY?

    • Em hiểu như thế này nhé: việc chúng ta chọn ra 5 chữ số để sắp xếp là ngẫu nhiên. Do đó sẽ có cả những số có 5 chữ số với số 0 ở đầu và không có chữ số 0 ở đầu. Do đó chúng ta cần loại ra những số có 5 chữ số chứa số 0 ở đầu (đây là số có 4 chữ số như em nói). Vì vậy mà ta cần phải tìm ra số có dạng như vậy.

  6. DBach says:

    Thưa thầy, các chữ số khác nhau ta dùng chỉnh hợp thì em hiểu nhưng tại sao các chữ số không nhất thiết khác nhau vẫn dùng chỉnh hợp ạ ?

  7. Dinh says:

    Qua 2 bai này e biet rõ về cách dùg chỉh hợp cảm ơn thầy rất nhiều e mong thầy sẽ giúp e hk tốt trong cac bài CHỈNH HỢP LẶP ạ

  8. Tạ Minh Thu says:

    thầy ơi bài 1 câu c chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử khác với 7^4 mà thầy em bấm máy tính ra thế

  9. Tấn Quang says:

    thầy ơi sao chỉnh hợp chập 4 của 7 lại là 1440 ạ. Bài 1 câu c á thầy ?

  10. kim hong says:

    nho thay giai giup bai toan nay. cam on thay nhieu!!!
    Bai : Thả 20 con cá con giống nhau vào 4 bể nuôi cá. Có bao nhiêu cách thả:
    a) Tuỳ ý.
    b) Một bể có 8 con, một bể có 6 con, một bể có 4 con và một bể có 2 con.

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.